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2023年12月31日

完全数と友愛数と婚約数

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2023年12月27日

度数法と弧度法

 度数法でも弧度法でも角の大きさを「その角が角の頂点を中心とする円の周からどれくらいの長さの弧を切り取るか」で表している点は共通しています。 しかし、「どれくらいの長さの弧」かを評価する基準が異なります。 ...
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2023年12月23日

定義に従って三角関数の値を求める

「次の三角関数の値を求めよ。 (1)\large\sin60° (2)\large\cos135° (3)\large\tan210°」 ...
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2023年12月17日

sin11.25°、cos11.25°、tan11.25°はどんな数?

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 11.25° (=\dfrac{\pi}{16})のときの三角関数はどんな値になるのかを調べてみます。 ...
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2023年12月13日

この二重根号の等式は成り立っている?

\sqrt{10+5\sqrt{2}}-\sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}} 「上の等式が成り立つことを証明せよ。」 ...
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2023年12月11日

15°、22.5°、67.5°、75°の三角比

 15°, 75°の三角比と22.5°, 67.5°の三角比は同じ方法を利用して求めることができます。 ...
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2023年12月9日

中間角の三角関数

 2つの角度α,βの中間の角度\dfrac{α+β}{2}の三角関数はα,βそれぞれの三角関数を使ってどのように表すことができるでしょうか? ...
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2023年12月7日

sin4.5°、cos4.5°、tan4.5°はどんな数?

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 4.5° (=\dfrac{\pi}{40})のときの三角関数がどのような値となるのかを調べてみます。 ...
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2023年12月6日

18°、36°、54°、72°の三角比

 18°, 36°, 54°, 72°の三角比はすべて1つの三角形を出発点として求めることができます。 ...
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2023年12月2日

恒等でないtanの半角の公式の変形

 「三角関数 半角の公式」で紹介した\tanの半角の公式 \begin{equation}\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\end{equation} には\tan\dfrac{θ}{2}が定義できるすべての実数θにおいて恒等な変形 \tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} が存在しますが、恒等でない変形も存在します。 ...
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2023年11月30日

tanのとりうる値の範囲はなぜすべての実数なのか?

  任意の実数θにおいて\tanθのとりうる値の範囲はなぜすべての実数なのでしょうか...
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2023年11月27日

三角関数 半角の公式

\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}  これら三角関数の半角の公式は、\cosの2倍角の公式 \begin{align*}\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\tag{a}\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag{b}\end{align*} ...
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2023年11月25日

三角関数 2倍角の公式

\begin{align*}\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\tag1\\[1em]\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag2\\[0.5em]&=1-2\sin^2\theta\\[1em]\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag3\end{align*}  これら三角関数の2倍角の公式は三角関数の加法定理を利用して導くことができます。 ...
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2023年11月23日

三角関数の加法定理

 三角関数の加法定理とは、任意の角α,βについて \begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[1em]\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align} ...
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2023年11月21日

正負の数の足し算・引き算を数直線で考える

符号のない数の足し算  符号のない数の足し算は、足される数より足す数だけ大きい数が答えとなります。 例えば3+2は足される数3より足す数2だけ大きい数5が答えとなります。 すなわち 3+2=5 となります。 ...
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2023年11月13日

公約数についてこれは正しい?

「『約数はある整数を割り切ることができる整数のことなので、整数Aの約数g\frac{A}{g}=N\quad(N:整数) を満たす整数gのことであるといえる。であれば2つの整数A,Bの公約数は \frac{AB}{g^2}=N を満たす整数gのことである。』 これは正しいか?」 ...
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2023年11月11日

1次不定方程式の整数解を求める(2)

「次の1次不定方程式の整数解をすべて求めよ。 (1)\large37x+42y=3 (2)\large84x-56y=21 (3)\large39x+52y=12」 ...
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2023年11月9日

公倍数は最小公倍数の倍数?

 なぜ公倍数は最小公倍数の倍数となるのでしょうか? ...
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中点連結定理の拡張の考察

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 中点連結定理を利用して次の性質を導くことができるでしょうか? 性質\text{(I)}△\text{ABC}の2辺\text{AB, AC}上にそれぞれ\text{AP}:\text{AB}=\text{AQ}:\text{AC}=m:n (ただしm, n:正の実数、m\neq n)となる点\text{P, Q}をとり、これらを結んだ線分\text{PQ}は辺\text{BC}\text{PQ}//\text{BC, PQ}:\text{BC}=m:nという関係をもつ。 ...
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2023年10月31日

高低差からテーブルの高さを求める

「テーブル1脚とそれぞれ高さが異なる3個の花瓶A、B、Cがある。花瓶を2個選び、1つをテーブルを設置した床の上に、もう1つをテーブルの上に置いて2つの花瓶の頭頂部の高低差を調べると以下のようになった。 花瓶Aを床に、花瓶Bをテーブルの上に置いたときの花瓶A、Bの高低差は46cm。 花瓶Bを床に、花瓶Cをテーブルの上に置いたときの花瓶B、Cの高低差は58cm。 花瓶Cを床に、花瓶Aをテーブルの上に置いたときの花瓶A、Cの高低差は40$cm。 このときのテーブルの高さを求めよ。ただし、テーブルの高さはどの花瓶よりも高いものとする。 ...
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2023年10月26日

三平方の定理の逆は成り立つ?

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 三平方の定理とは、 「直角三角形の直角をつくる辺の長さをそれぞれa, b、斜辺の長さをcとするとa^2+b^2=c^2が成り立つ。」 というものです。 この逆は成り立つでしょうか? ...
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2023年10月23日

1次関数と反比例のグラフと三角形の面積

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「上図は1次関数y=2x+5と反比例y=\dfrac{a}{x}のグラフである。 y=\dfrac{a}{x}のグラフは\left(6,\dfrac{1}{2}\right)を通り、2つのグラフはx=-3で交わる。 このとき、以下の問いに答えよ。 (1)aの値を求めよ。 (2)x=-3における交点の座標を求めよ。 (3)(0,5),\left(6,\dfrac{1}{2}\right)(2)で求めた点の3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。」 ...
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2023年10月9日

中点連結定理の逆は成り立つ?

 中点連結定理は三角形のものと台形のものがありますが、それぞれの定理の逆は成り立つでしょうか? ...
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2023年10月4日

なぜ0で割ってはいけないのかを引き算で考える

 なぜ割り算は0で割ることができないのでしょうか? この理由を割り算を引き算に変換して考えてみます。 ...
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2023年9月30日

関数のグラフの平行移動

 関数y=f(x)のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した後のグラフの方程式は \large y-q=f(x-p) あるいは \large y=f(x-p)+q と表すことができます。 このことを2通りの方法で説明してみます。 ...
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2023年9月22日

方べきの定理の逆は成り立つ?

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 方べきの定理とは \textbf{(a), (b)}: 2本の弦\text{AB, CD}、またはそれらの延長が点\text{P}で交わるとき、\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}が成り立つ。 \textbf{(c)}:\text{A}を通る接線と弦\text{BC}の延長が点\text{P}で交わるとき、$\text{AP}^2=\text{BP}\cdot ...
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2023年9月21日

接弦定理の逆は成り立つ?

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 接弦定理とは、 円周角∠\text{ABC}の点\text{A}を通る接線を引き、弦\text{AC}と接線がつくる角∠\text{CAT}△\text{ABC}の外側にあるように点\text{T}をとると∠\text{CAT}=∠\text{ABC}が成り立つ。 という定理です。 この定理の逆はどういったもので、それは成り立つでしょうか? ...
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2023年9月18日

円に内接する四角形の対角の性質の逆は成り立つ?

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 円に内接する四角形の対角の性質とは 円に内接する四角形の対角の和は180°である。 という性質のことです。 これは逆も成り立ち、円に内接する四角形の対角の性質の逆とは 四角形\text{ABCD}の対角の和が180°ならば四角形\text{ABCD}は外接円をもつ。 というものです。 なぜこれが成り立つのかを確かめてみます。 ...
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2023年9月17日

4点A,B,C,Dについて∠ACB=∠ADB=90°が成り立つとき必ず円周角の定理の逆は使えるか?

 4点\text{A, B, C, D}について∠\text{ACB}=∠\text{ADB}=90°が成り立つとき、これら4点は常に同一円周上にあるといえます。 このとき、4点が同一円周上にあるといえる根拠は円周角の定理の逆だけでしょうか? ...
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2023年9月15日

-(-3)はなぜ+3なのか? 数直線で考えてみる

 -(-3)は正負の数の簡単な表現に直すと+3になります。すなわち -(-3)=+3 が成り立ちます。なぜこれが成り立つのでしょうか? ...
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2023年9月13日

正の数と負の数と絶対値

符号のない数  まずは符号のない数について考えます。 符号のない数というのは、算数で扱うような0を最小とする数のことです。これは数直線で表すと以下のようになります。 ...
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2023年9月8日

円周角の定理の逆 なぜ成り立つ?

 円周角の定理とは、 1. 1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。 2. 1つの弧に対する中心角の大きさは同じ弧に対する円周角の2倍である。 の2つのことを指します。 しかし、円周角の定理の逆とされるものは 1.の逆: 2点\text{C, D}が直線\text{AB}に関して同じ側にあるような4点\text{A, B, C, D}について、∠\text{ACB}=∠\text{ADB}が成り立つとき4点は同一円周上にある。 しかありません。それはなぜなのでしょうか? ...
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2023年9月3日

数直線で見る不等式を解く基本的な4つの操作

 不等式に対しておこなう基本的な操作は両辺に同じ数を足す、引く、掛ける、割るの4つとなります。 この操作を数直線で見るとどのように見えるでしょ...
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2023年8月27日

a<bのときa^2とb^2の大小関係はどうなる?

 定数a,bについてa<bのとき、a^2b^2の大小関係はどうなるでしょうか? ...
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2023年8月24日

円を3等分する平行線はどこに引く?

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 円に平行な直線を2本引いて円の面積を3等分したいとき、2本の平行な直線はそれぞれどこに引けばよいでしょうか? ...
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2023年8月11日

交差する角の二等分線は直交する?

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「どの対辺も平行でない円に内接する四角形\text{ABCD}の辺\text{AB}\text{CD}をそれぞれ延長したときの交点を\text{E}、辺\text{BC}\text{AD}をそれぞれ延長したときの交点を\text{F}とする。 このとき、∠\text{AED}の二等分線と∠\text{CFD}の二等分線は直交することを示せ。」 ...
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2023年8月9日

余弦定理とベクトル

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 △\text{ABC}において、∠\text{A}=θとすると余弦定理 \begin{equation}\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2-2\text{AB}\cdot \text{AC}\cos\theta\end{equation} が成り立ちます。 ではここで、\vec{\text{AB}},\vec{\text{AC}},\vec{\text{BC}}というベクトルを考えたとき、余弦定理はベクトルでどのように表すことができるのでしょうか? ...
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2023年8月6日

三角形の外心と垂心と重心の関係 オイラー線

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三角形の外心、垂心、重心の間には以下のような関係があります。 「三角形の外心、垂心、重心は同一直線上に存在する。」 上図のように△\text{ABC}の外心\text{O}、垂心\text{H}、重心\text{G}の3点は必ず一直線上に並びます。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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2023年7月31日

三角形の外心と垂心の関係

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 三角形の外心と垂心には次のような性質があります。 「三角形のある頂点から垂心までの距離は、その対辺から外心までの距離の2倍である。」 上図のように頂点\text{A}とその対辺\text{BC}に着目した場合は、頂点\text{A}から垂心\text{H}までの距離\text{AH}と外心\text{O}から対辺\text{BC}までの距離\text{OM}の間には\text{AH}=2\text{OM}が成り立ちます。これが成り立つことを鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形それぞれの場合にわけて確かめてみます。 ...
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2023年7月30日

鈍角三角形の3本の垂線の性質

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 鋭角三角形の各頂点から対辺におろした3本の垂線にはどのような性質があるでしょうか? ...
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2023年7月26日

直角三角形の垂線の性質

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 直角三角形の各頂点から対辺へおろした垂線のうち、直角の頂点から以外のものは辺と重なります。 したがって、直角三角形の垂線というと直角の頂点から引いたものしかないように見えます。上図の直角三角形\text{ABC}においては線分\text{AD}のことです。 この垂線にはどのような性質があるでしょうか? ...
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2023年7月24日

鋭角三角形の3本の垂線の性質

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 鋭角三角形の各頂点から対辺におろした3本の垂線にはどのような性質があるでしょうか? ...
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2023年7月22日

加法定理と正弦定理でトレミーの定理を証明してみる

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 トレミーの定理とは、円に内接する四角形\text{ABCD}において \large\text{AB}\cdot\text{CD}+\text{AD}\cdot\text{BC}=\text{AC}\cdot\text{BD} という関係が成り立つという定理のことです。 これが成り立つことを、加法定理と正弦定理を利用して証明してみます。 ...
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2023年7月17日

スチュワートの定理

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 △\text{ABC}の辺\text{BC}上に点\text{P}をうち、線分\text{AP}を引くと \text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2=\text{BC}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}\cdot\text{CP}\bigr) という関係が成り立ちます。この関係のことをスチュワートの定理といいます。 なぜこれが成り立つといえるのでしょうか? ...
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2023年7月16日

中線定理 なぜ成り立つ?

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 △\text{ABC}の辺\text{BC}の中点を\text{M}とし、中線\text{AP}を引くと \text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2+\text{BM}^2) という関係が成り立ちます。この関係のことを中線定理といいます。 なぜこれが成り立つといえるのでしょうか? ...
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2023年7月13日

約分可能な有理関数のグラフは?

「次の関数のグラフの概形を描け。 (1)\large y=\dfrac{x^2}{x} (2)\large y=\dfrac{(2x+3)(x+1)(x-2)}{x+1} (3)\large y=\dfrac{x^3+4x^2-11x-30}{x^2-3x-10}」 ...
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2023年7月9日

「AさんとBさんは嘘つき」の否定は?

「Aさん、Bさん、Cさんの3人からそれぞれ以下のような話を聞くことができた。 A:Cさんは正直者です。B:Aさんは嘘つきです。C:AさんとBさんは嘘つきです。 3人のうち2人が嘘つきで1人だけが正直者であるとき、正直者であるのは誰か?」 このような問題でCさんが嘘つきであると仮定したとき、Cさんの発言内容からわかることは何でしょうか? ...
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2023年7月6日

-θ、90°±θ、180°±θ、270°±θの三角関数

 角度が-θ,90°±θ,180°±θ,270°±θそれぞれのときの三角関数は角度θのときの三角関数とどんな関係にあるのかを調べてみます。 ...
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2023年6月29日

sin(ax+b)、cos(ax+b)、tan(ax+b)の周期

 実関数\sin(ax+b),\cos(ax+b),\tan(ax+b) (a,b:実数;a\neq0)の周期は何でしょうか? ...
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2023年6月25日

三角関数の周期を求める

「次の三角関数の基本周期を求めよ。 (1)\large\sin2x (2)\large\tan\bigl(-\sqrt{3}x\bigr) (3)\large\cos\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6}\right)」 ...
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2023年6月21日

sin x^2は周期関数?

\sin x^2が周期関数でないことを示せ。」 ...
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2023年6月15日

円の弦の垂直二等分線と中心

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円の弦の垂直二等分線は必ず中心を通ります。 これが正しいことを確かめてみます。 ...
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垂直二等分線上の点以外に等距離の点は存在する?

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 ある線分の垂直二等分線上のすべての点はその線分の両端までの距離が等しいという性質があります。 垂直二等分線上の点以外に線分の両端までの距離が等しい点が存在しないことを確かめてみ...
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2023年6月10日

相似を利用して円の半径を求める

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「線分\text{AB}を引き、線分\text{AB}上の点\text{A, B}以外の任意の位置に点\text{O}をおく。\text{AO}を直径とする円\text{P}\text{BO}を直径とする円\text{Q}を描く。 点\text{A}を通る円\text{Q}の接線と、点\text{B}を通る円\text{P}の接線を引き、それぞれの接点を\text{C, D}とする。 このとき、直線\text{AB}上に中心があり点\text{O}を通る円のうち、直線\text{AC}に接する円と直線\text{BD}に接する円の半径が等しいことを示せ。」 ...
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2023年6月7日

-3.14の整数部分は?(負の数の整数部分)

-3.14の整数部分と小数部分を求めよ。」 ...
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2023年6月6日

部分積分法

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 部分積分法は積分方法の1つです。 \large\int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx この公式は積の微分から導くことができます。 ...
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2023年6月2日

奇数の自然数を1から順に足すとなぜ平方数になるのか?

 奇数の自然数(1,3,5,…)を1から小さい順にn個足すとn^2になります。 これは数式で \sum^n_{k=1}(2k-1)=n^2 と表されます。 なぜこれが成り立つのでしょうか? ...
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2023年5月29日

a+bとab/(a+b)はどちらが大きい?(2つの数の大小比較)

a>0,b>0のときa+b\dfrac{ab}{a+b}はどちらが大きいか?不等式で答えよ。」 ...
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2023年5月27日

アルキメデスの双子円の半径を求める

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アルベロス図形とは、上図のように直線に関して同じ側に円弧がある3つの半円の弧に囲まれた図形のことです。 そして、上図のようにアルベロス図形\text{ABC}を小さい2つの半円の交点\text{D}を通る直径\text{AB}に垂直な直線\text{CD}で分割してできる図形\text{ACD, BCD}それぞれの内接円のことをアルキメデスの双子円といいます。双子円という名の通り半径が等しく、半円\text{AC}の半径をa、半円\text{BC}の半径をbとすると ...
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2023年5月24日

床関数と天井関数

床関数  \lfloor x\rfloor[x]と書き表される関数を床関数といいます。[x][\ ]は単なる括弧ではなく、床関数を表すものとしてガウス記号と呼ばれます。 床関数\lfloor x\rfloorの値は整数nをもちいて以下のように決まります。 実数xn\leqq x<n+1の範囲にあるとき \lfloor x\rfloor=n すなわち、実数x以下の最大の整数が床関数\lfloor x\rfloorのとる値となります。 ...
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2023年5月17日

[x]([ ]:ガウス記号)の定積分

\int^3_2[x]\ dx\quad([\ ]:ガウス記号)この定積分はどのような値となるでしょうか? ...
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2023年5月10日

負の数のべき乗が実数となる条件は?

 正の数のべき乗a^xはすべての実数xで実数となります。しかし負の数のべき乗(-a)^x\ (a>0)はすべての実数xで実数となるわけではありません。 負の数のべき乗が実数となる条件は何でしょ...
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2023年5月3日

アルベロス図形とは

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 半円ABの直径AB上に点Cをおき、ABに関して弧ABと同じ側に円弧があるように半円ACと半円BCを描きます。このとき3つの円弧によって囲まれた図形のことをアルベロス図形といいます。 ...
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2023年5月2日

x^xの微分

 x^xは底と指数ともに変数であるため、べき関数x^a\ (a:定数)でも指数関数a^x\ (a:定数)でもなく、これらの合成関数でもありません。 これを微分するためには以下のような方法でおこないます。 ...
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2023年4月30日

2数、3数の場合の相加平均と相乗平均の大小関係

 2数の相加平均と相乗平均の大小関係は \begin{align*}\frac{a+b}{2}&\geqq\sqrt{ab}\\ &(a\geqq0,b\geqq0)\end{align*} 等号成立はa=b 3数の相加平均と相乗平均の大小関係は \begin{align*}\frac{a+b+c}{3}&\geqq\sqrt[3]{abc}\\ &(a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0)\end{align*} 等号成立はa=b=c ...
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2023年4月28日

虚数単位と平方根の積の公式

虚数単位とは?  実数の範囲では非負実数のものしか考えられない平方根ですが、考える範囲を負の実数にまで拡張したときに導入される実数とは異なる数が虚数であり、その基礎となるのが虚数単位です。 ...
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2023年4月25日

平方根とは? 平方根の計算法則

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2023年4月24日

f(x)=|x|を導関数にもつ関数を求める

f(x)=|x| 「上の関数f(x)を導関数にもつ関数F(x)を求めよ。」 ...
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2023年4月17日

未知数が3つある連立方程式を解く

「以下の連立方程式を解け。 \left\{\begin{array}{rl}x-3y+6z&=-4\\[0.5em]5x+3y-2z&=18\\[0.5em]-x+9y-20z&=15\end{array}\right.」 ...
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2023年4月14日

投げ上げたボールの最高点を求める

「Aさんがボールを投げ上げたところ2[\text{m}]先にある高さ3[\text{m}]の塀の上にある瓶に当たった。ボールがAさんから瓶までの地点間を5:3に内分する位置で最高点に到達したとき、最高点におけるボールの高さを求めよ。 ボールがAさんの手を離れた直後のボールの位置はAさんの頭上で高さは2[\text{m}]とし、瓶に当たるとはAさんから2[\text{m}]先、高さ3[\text{m}]の位置をボールの中心が通過する軌道を描いたものとする。また、空気抵抗は無視する。」 ...
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2023年4月8日

三平方の定理を利用して四面体の辺の長さを求める

\text{OC}=10, \text{AC}=15, \text{BC}=20, ∠\text{OCA}=∠\text{OCB}=90°である四面体\text{OABC}がある。この四面体に以下の条件が加わった場合の\text{AB}の長さを求めよ。 (1)∠\text{BAC}=90° (2)∠\text{AOB}=90°」 ...
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2023年4月6日

連分数で表された数はどんな数?

「次の連分数が表す数を求めよ。 (1)3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots}}} (2)-2+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年4月2日

弧の長さと半径からおうぎ形の面積を求める

「半径が4[\text{cm}]、弧の長さが7[\text{cm}]であるおうぎ形の面積を求めよ。円周率は\piとす...
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2023年3月25日

3次不等式を解く

「次の不等式を解け。 (1)\large (x+2)^3<8 (2)\large (x+1)^2(x-2)\leqq0 (3)\large x(x+2)(x-5)>0」 積の正負から解く方法とグラフから解く方法の2通りで解いてみ...
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2023年3月15日

楕円のy座標が最小となる点は?

「2定点A(0,5),B(4,8)それぞれからの距離の和が6である楕円の方程式を求めよ。また、この楕円上のy座標が最小となる点の座標を求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年3月11日

正八角形の面積を求める

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「上図の正八角形の面積を求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年3月9日

三角形の重心とその性質

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 三角形の重心とは、各頂点から対辺の中点へ引いた線、中線同士が交わる点のことです。 この重心には、中線を2:1に内分するという性質があります。 三角形には必ず重心が存在することと重心の性質について確かめてみます。 ...
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2023年3月3日

正多角形の内角と外角の大きさの比

 正多角形の内角と外角の大きさの比はどのようになるのでしょうか? ...
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多角形の内角の和の求め方 正多角形の1つの内角の大きさの求め方

 多角形の内角の和はどのように求めるのでしょうか? また、正多角形の1つの内角の大きさはどのように求めるのでしょ...
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2023年2月27日

整数係数の3次方程式の有理数解の候補

 整数係数の3次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a,b,c,d:整数,a\neq0)の有理数解の候補は (有理数解)=\pm\frac{\ (dの約数)\quad}{\ (aの約数)\quad} となります。 なぜこの式によって有理数解の候補を挙げることができるのでしょうか? ...
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2023年2月25日

おうぎ形はどれ?

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「上の(1)~(5)の中でおうぎ形であるものをすべて選べ。点線と赤い点はそれぞれ図形の曲線部分のもととなる円の円周と中心を表...
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2023年2月23日

三角形の垂心

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三角形の垂心は、3つの頂点からそれぞれの対辺、またはその延長へ引いた垂線同士の交点となります。 どの三角形にも垂心があることを確かめます。 ...
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2023年2月19日

三角形と台形の中点連結定理

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 中点連結定理とは、上図のように△\text{ABC}の2辺\text{AB, AC}の中点をそれぞれ\text{M, N}とすると \large \text{BC}//\text{MN, BC}=2\text{MN} が成り立つという定理です。 なぜこれが成り立つのでしょうか?確かめてみます。 ...
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2023年2月18日

並列接続された抵抗全体の抵抗値の計算 (分数と逆数)

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「上図の並列接続された抵抗に電源を接続したときの回路全体の抵抗値を求めよ。」 このような問題を解くには分数の計算が必須です。どのように計算をすればよいのでしょうか? ...
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2023年2月14日

円周角と弧で囲まれた部分の面積は?

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「半径5cmの円\text{O}上に∠\text{ACB}=30°,\text{AC}:\text{BC}=1:2となるように3点\text{A, B, C}をとる。 このとき線分\text{AC, BC}と弧\text{AB}で囲まれた部分の面積を求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年2月6日

相似な三角形の面積比はなぜ相似比の2乗となるのか?

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 相似な三角形の相似比がm:nのとき、面積比は相似比の2乗のm^2:n^2となります。 相似比と面積比の関係はなぜこのようになるのでしょうか? ...
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2023年2月3日

正の約数の個数が奇数になるのはどんな数?

 自然数の正の約数が奇数個になるのはどのような数なのでしょうか? ...
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2023年2月2日

2023!と100^2023はどちらのほうが大きい?(2つの数の大小比較)

2023!100^{2023}はどちらのほうが大きいか?」このような問題はどのように解けばよいのでしょ...
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2023年1月30日

タレスの定理とその逆

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タレスの定理とは 円周上に円の直径の端点\text{A, B}とそれ以外の任意の点\text{P}をおくと、∠\text{APB}=90°(直角)となる。 という定理です。 これはなぜ成り立つのでしょうか?また、タレスの定理の逆についても考えます。 ...
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2023年1月28日

定義域で場合分けする2次関数の最大値・最小値を求め方

「2次関数y=x^2+6x+1の定義域が以下の場合における最大値と最小値を答えよ。 (1)\large a\leqq x\leqq a+1 (2)\large a\leqq x<a+1 (3)\large a<x<a+1」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年1月25日

10年間複利で1000万円達成するのに最低限必要な元金は?

「年率3.7%、10年間複利で1000万円にするためには初めに最低何円預ける必要があるか?千の位まで答えよ。ただし、年率は一定で、税金、費用等はかからないものとする。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょ...
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2023年1月22日

底面積と表面積から円錐の高さを求める

「底面の半径が3cmである円錐の表面積が底面積の6倍であるとき、この円錐の高さを求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年1月21日

250!を素因数分解すると11はいくつある?

250!を素因数分解すると11はいくつ含まれるかを求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年1月19日

1辺の長さが1の正六角形の幅と高さは?

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 1辺の長さが1の正六角形の幅と高さはいくつになるでしょうか? ...
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2023年1月16日

1からa^nまでに含まれるaの倍数は何個?

a,nを正の整数とする。1からa^nまでの整数の中にaの倍数はいくつあるか?a,nをもちいて表わせ。」 ...
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2023年1月14日

3!!と(3!)!の違いは?

 3!!(3!)!はどちらも階乗を表していますが、この2つにはどんな違いがあるのでしょうか? ...
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平行線と等間隔の点でつくる格子

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 等間隔に引かれた3本の平行線a, b, cのうち、直線ac上にそれぞれ異なる長さで等間隔に3個ずつ点\text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3\text{C}_1, \text{C}_2, \text{C}_3を打ちます。\text{A}_1\text{C}_1\text{A}_2\text{C}_2\text{A}_3\text{C}_3を直線d, e, fで結び、直線bとの交点をそれぞれ\text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3とすると、以下が成り立ちます。\begin{align*}\text{A}_n\text{B}_n&=\text{B}_n\text{C}_n\\[0.5em]\text{X}_1\text{X}_2&=\text{X}_2\text{X}_3\\...
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2023年1月9日

外接円の半径と内角の1つがわかっている三角形の面積のとりうる値の範囲は?

∠\text{A}=135°である三角形\text{ABC}は半径3の外接円を持つ。この三角形の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年1月7日

2023^2023の下1桁は?

2023^{2023}の下1桁を求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょ...
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2023年1月5日

2次関数のグラフ上の2点を通る直線のy切片を求める

「2次関数y=\dfrac{1}{3}x^2のグラフ上のx座標が-26である2点を通る直線のy切片を求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年1月3日

4つに分割された長方形の一部分の面積は?

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「上の(1)、(2)はそれぞれ長方形を4つに分割している。分割された図形の内部の数字はその図形の面積である。?の部分の面積を求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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2023年1月2日

2つの関数のグラフに挟まれた部分の面積

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 区間a\leqq x\leqq bにおいて常にf(x)\geqq g(x)である2つの関数y=f(x),y=g(x)と直線x=a,x=bに囲まれた部分の面積Sは、定積分を利用して S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx で求めることができます。 定積分はx軸より上側にある部分か下側にある部分かで正負が変わりますが、なぜx軸との位置関係に関係なくこの式で面積を求めることができるのでしょうか? ...
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2023年1月1日

12^5の上2桁は何?

12^5の上2桁を答えよ。ただし、2=10^{0.3010},3=10^{0.4771}であることをもちいてよい。」 このような問題はどのように解けばよいのでしょうか? ...
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