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度数法でも弧度法でも角の大きさを「その角が角の頂点を中心とする円の周からどれくらいの長さの弧を切り取るか」で表している点は共通しています。
しかし、「どれくらいの長さの弧」かを評価する基準が異なります。
2023年12月31日
2023年12月23日
2023年12月17日
2023年12月13日
この二重根号の等式は成り立っている？
\[\sqrt{10+5\sqrt{2}}-\sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}}\]
「上の等式が成り立つことを証明せよ。」
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2023年12月11日
2023年12月9日
2023年12月7日
2023年12月6日
2023年12月2日
恒等でないtanの半角の公式の変形
「三角関数 半角の公式」で紹介した$\tan$の半角の公式
\begin{equation}\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\end{equation}
には$\tan\dfrac{θ}{2}$が定義できるすべての実数$θ$において恒等な変形
\[\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\]
が存在しますが、恒等でない変形も存在します。
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2023年11月30日
2023年11月27日
三角関数 半角の公式
\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
これら三角関数の半角の公式は、$\cos$の2倍角の公式
\begin{align*}\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\tag{a}\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag{b}\end{align*}
を利用して導くことができます。
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2023年11月25日
三角関数 2倍角の公式
\begin{align*}\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\tag1\\[1em]\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag2\\[0.5em]&=1-2\sin^2\theta\\[1em]\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag3\end{align*}
これら三角関数の2倍角の公式は三角関数の加法定理を利用して導くことができます。
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2023年11月23日
三角関数の加法定理
三角関数の加法定理とは、任意の角$α,β$について
\begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[1em]\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align}
が成り立つという定理です。
これらはなぜ成り立つのでしょうか？
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2023年11月21日
正負の数の足し算・引き算を数直線で考える
符号のない数の足し算
符号のない数の足し算は、足される数より足す数だけ大きい数が答えとなります。
例えば$3+2$は足される数$3$より足す数$2$だけ大きい数$5$が答えとなります。
すなわち
\[3+2=5\]
となります。
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2023年11月13日
公約数についてこれは正しい？
「『約数はある整数を割り切ることができる整数のことなので、整数$A$の約数$g$は
これは正しいか？」
\[\frac{A}{g}=N\quad(N:整数)\]
を満たす整数$g$のことであるといえる。であれば2つの整数$A,B$の公約数は
\[\frac{AB}{g^2}=N\]
を満たす整数$g$のことである。』
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2023年11月11日
1次不定方程式の整数解を求める(2)
「次の1次不定方程式の整数解をすべて求めよ。
(1)$\large37x+42y=3$
(2)$\large84x-56y=21$
(3)$\large39x+52y=12$」
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2023年11月9日
中点連結定理の拡張の考察
中点連結定理を利用して次の性質を導くことができるでしょうか？
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性質$\text{(I)}$：$△\text{ABC}$の2辺$\text{AB, AC}$上にそれぞれ$\text{AP}:\text{AB}=\text{AQ}:\text{AC}=m:n$
（ただし$m, n:$正の実数、$m\neq
n$）となる点$\text{P, Q}$をとり、これらを結んだ線分$\text{PQ}$は辺$\text{BC}$と$\text{PQ}//\text{BC, PQ}:\text{BC}=m:n$という関係をもつ。
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2023年10月31日
高低差からテーブルの高さを求める
「テーブル1脚とそれぞれ高さが異なる3個の花瓶A、B、Cがある。花瓶を2個選び、1つをテーブルを設置した床の上に、もう1つをテーブルの上に置いて2つの花瓶の頭頂部の高低差を調べると以下のようになった。
- 花瓶Aを床に、花瓶Bをテーブルの上に置いたときの花瓶A、Bの高低差は$46$cm。
- 花瓶Bを床に、花瓶Cをテーブルの上に置いたときの花瓶B、Cの高低差は$58$cm$。
- 花瓶Cを床に、花瓶Aをテーブルの上に置いたときの花瓶A、Cの高低差は$40$cm。
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2023年10月26日
三平方の定理の逆は成り立つ？
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「直角三角形の直角をつくる辺の長さをそれぞれ$a, b$、斜辺の長さを$c$とすると$a^2+b^2=c^2$が成り立つ。」
というものです。
この逆は成り立つでしょうか？
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2023年10月23日
1次関数と反比例のグラフと三角形の面積
$y=\dfrac{a}{x}$のグラフは$\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、2つのグラフは$x=-3$で交わる。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)$x=-3$における交点の座標を求めよ。
(3)$(0,5),\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$と$(2)$で求めた点の3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。」
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2023年10月9日
2023年10月4日
2023年9月30日
関数のグラフの平行移動
関数$y=f(x)$のグラフをx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動した後のグラフの方程式は
\[\large y-q=f(x-p)\]
あるいは
\[\large y=f(x-p)+q\]
と表すことができます。
このことを2通りの方法で説明してみます。
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2023年9月22日
方べきの定理の逆は成り立つ？
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$\textbf{(a), (b)}:$ 2本の弦$\text{AB, CD}$、またはそれらの延長が点$\text{P}$で交わるとき、$\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$が成り立つ。
$\textbf{(c)}:$ 点$\text{A}$を通る接線と弦$\text{BC}$の延長が点$\text{P}$で交わるとき、$\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$が成り立つ。
では、方べきの定理の逆とはどういったものとなり、それは成り立つでしょうか？
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2023年9月21日
接弦定理の逆は成り立つ？
円周角$∠\text{ABC}$の点$\text{A}$を通る接線を引き、弦$\text{AC}$と接線がつくる角$∠\text{CAT}$が$△\text{ABC}$の外側にあるように点$\text{T}$をとると$∠\text{CAT}=∠\text{ABC}$が成り立つ。
という定理です。
この定理の逆はどういったもので、それは成り立つでしょうか？
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2023年9月18日
円に内接する四角形の対角の性質の逆は成り立つ？
円に内接する四角形の対角の性質とは
円に内接する四角形の対角の和は$180°$である。
という性質のことです。
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四角形$\text{ABCD}$の対角の和が$180°$ならば四角形$\text{ABCD}$は外接円をもつ。
というものです。
なぜこれが成り立つのかを確かめてみます。
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2023年9月17日
4点A,B,C,Dについて∠ACB=∠ADB=90°が成り立つとき必ず円周角の定理の逆は使えるか？
4点$\text{A, B, C, D}$について$∠\text{ACB}=∠\text{ADB}=90°$が成り立つとき、これら4点は常に同一円周上にあるといえます。
このとき、4点が同一円周上にあるといえる根拠は円周角の定理の逆だけでしょうか？
このとき、4点が同一円周上にあるといえる根拠は円周角の定理の逆だけでしょうか？
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2023年9月15日
2023年9月13日
正の数と負の数と絶対値
符号のない数
まずは符号のない数について考えます。
符号のない数というのは、物を数えたり、長さを測ったり、重さを量ったりするときにもちいる$0$を最小とする数のことです。これは数直線で表すと以下のようになります。
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2023年9月8日
円周角の定理の逆 なぜ成り立つ？
円周角の定理とは、
の2つのことを指します。
1. 1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。
2. 1つの弧に対する中心角の大きさは同じ弧に対する円周角の2倍である。
しかし、円周角の定理の逆とされるものは
1.の逆:
2点$\text{C, D}$が直線$\text{AB}$に関して同じ側にあるような4点$\text{A, B, C, D}$について、$∠\text{ACB}=∠\text{ADB}$が成り立つとき4点は同一円周上にある。
しかありません。それはなぜなのでしょうか？
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2023年9月3日
2023年8月27日
2023年8月24日
2023年8月11日
交差する角の二等分線は直交する？
このとき、$∠\text{AED}$の二等分線と$∠\text{CFD}$の二等分線は直交することを示せ。」
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2023年8月9日
2023年8月6日
三角形の外心と垂心と重心の関係 オイラー線
三角形の外心、垂心、重心の間には以下のような関係があります。
「三角形の外心、垂心、重心は同一直線上に存在する。」
上図のように$△\text{ABC}$の外心$\text{O}$、垂心$\text{H}$、重心$\text{G}$の3点は必ず一直線上に並びます。
これが成り立つことを確かめてみます。
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2023年7月31日
三角形の外心と垂心の関係
三角形の外心と垂心には次のような性質があります。
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「三角形のある頂点から垂心までの距離は、その対辺から外心までの距離の2倍である。」
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上図のように頂点$\text{A}$とその対辺$\text{BC}$に着目した場合は、頂点$\text{A}$から垂心$\text{H}$までの距離$\text{AH}$と外心$\text{O}$から対辺$\text{BC}$までの距離$\text{OM}$の間には$\text{AH}=2\text{OM}$が成り立ちます。
これが成り立つことを鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形それぞれの場合にわけて確かめてみます。
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2023年7月30日
2023年7月26日
直角三角形の垂線の性質
したがって、直角三角形の垂線というと直角の頂点から引いたものしかないように見えます。上図の直角三角形$\text{ABC}$においては線分$\text{AD}$のことです。
この垂線にはどのような性質があるでしょうか？
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2023年7月24日
2023年7月22日
加法定理と正弦定理でトレミーの定理を証明してみる
\[\large\text{AB}\cdot\text{CD}+\text{AD}\cdot\text{BC}=\text{AC}\cdot\text{BD}\]
という関係が成り立つという定理のことです。
これが成り立つことを、加法定理と正弦定理を利用して証明してみます。
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2023年7月17日
2023年7月16日
中線定理 なぜ成り立つ？
\[\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2+\text{BM}^2)\]
という関係が成り立ちます。この関係のことを中線定理といいます。
なぜこれが成り立つといえるのでしょうか？
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2023年7月13日
約分可能な有理関数のグラフは？
「次の関数のグラフの概形を描け。
(1)$\large y=\dfrac{x^2}{x}$
(2)$\large y=\dfrac{(2x+3)(x+1)(x-2)}{x+1}$
(3)$\large y=\dfrac{x^3+4x^2-11x-30}{x^2-3x-10}$」
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2023年7月9日
「AさんとBさんは嘘つき」の否定は？
「Aさん、Bさん、Cさんの3人からそれぞれ以下のような話を聞くことができた。
A：Cさんは正直者です。
B：Aさんは嘘つきです。
C：AさんとBさんは嘘つきです。
3人のうち2人が嘘つきで1人だけが正直者であるとき、正直者であるのは誰か？」
このような問題でCさんが嘘つきであると仮定したとき、Cさんの発言内容からわかることは何でしょうか？
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2023年7月6日
2023年6月29日
2023年6月25日
三角関数の周期を求める
「次の三角関数の基本周期を求めよ。
(1)$\large\sin2x$
(2)$\large\tan\bigl(-\sqrt{3}x\bigr)$
(3)$\large\cos\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6}\right)$」
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2023年6月21日
2023年6月15日
垂直二等分線上の点以外に等距離の点は存在する？
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垂直二等分線上の点以外に線分の両端までの距離が等しい点が存在しないことを確かめてみます。
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2023年6月10日
相似を利用して円の半径を求める
点$\text{A}$を通る円$\text{Q}$の接線と、点$\text{B}$を通る円$\text{P}$の接線を引き、それぞれの接点を$\text{C, D}$とする。
このとき、直線$\text{AB}$上に中心があり点$\text{O}$を通る円のうち、直線$\text{AC}$に接する円と直線$\text{BD}$に接する円の半径が等しいことを示せ。」
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2023年6月7日
2023年6月6日
2023年6月2日
奇数の自然数を1から順に足すとなぜ平方数になるのか？
奇数の自然数（$1,3,5,…$）を$1$から小さい順に$n$個足すと$n^2$になります。
これは数式で
これは数式で
\[\large\sum^n_{k=1}(2k-1)=n^2\]
と表されます。
なぜこれが成り立つのでしょうか？
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2023年5月29日
2023年5月27日
アルキメデスの双子円の半径を求める
\[\frac{ab}{a+b}\]
と表されます。
これが成り立つことを座標平面をもちいて確かめてみます。
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2023年5月24日
2023年5月17日
2023年5月10日
負の数のべき乗が実数となる条件は？
負の数のべき乗が実数となる条件は何でしょうか？
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2023年5月3日
2023年5月2日
2023年4月30日
2数、3数の場合の相加平均と相乗平均の大小関係
2数の相加平均と相乗平均の大小関係は
\begin{align*}\frac{a+b}{2}&\geqq\sqrt{ab}\\
&(a\geqq0,b\geqq0)\end{align*}
等号成立は$a=b$
3数の相加平均と相乗平均の大小関係は
となります。
\begin{align*}\frac{a+b+c}{3}&\geqq\sqrt[3]{abc}\\
&(a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0)\end{align*}
等号成立は$a=b=c$
これらはなぜ成り立つのでしょうか？
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2023年4月28日
虚数単位と平方根の積の公式
虚数単位とは？
実数の範囲では非負実数のものしか考えられない平方根ですが、考える範囲を負の実数にまで拡張したときに導入される実数とは異なる数が虚数であり、その基礎となるのが虚数単位です。
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2023年4月25日
平方根とは？ 平方根の計算法則
平方根とは？
正の数$a$の2乗は$a^2$となります。また、$a$と符号を反転させた負の数$-a$も2乗すると$a^2$となります。
このとき、$a$と$-a$は絶対値が等しい数です。また、$a^2$は必ず正の値を持ちます。
このとき、$a$と$-a$は絶対値が等しい数です。また、$a^2$は必ず正の値を持ちます。
では逆に2乗して$a^2$になる数はなにかというと上記より$a$と$-a$の2つといえます。
この2乗して$a^2$になる$a$と$-a$のことを$a^2$の平方根といい、正の数$a$のことを正の平方根、負の数$-a$のことを負の平方根といいます。この2つをまとめて$\pm
a$とも書くことができます。
$0$の平方根は、2乗して$0$となる数は$0$のみであることから$0$ただ1つです。
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2023年4月24日
2023年4月17日
未知数が3つある連立方程式を解く
\[\left\{\begin{array}{rl}x-3y+6z&=-4\\[0.5em]5x+3y-2z&=18\\[0.5em]-x+9y-20z&=15\end{array}\right.\]」
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2023年4月14日
投げ上げたボールの最高点を求める
「Aさんがボールを投げ上げたところ$2[\text{m}]$先にある高さ$3[\text{m}]$の塀の上にある瓶に当たった。
ボールがAさんから瓶までの地点間を$5:3$に内分する位置で最高点に到達したとき、最高点におけるボールの高さを求めよ。
ボールがAさんの手を離れた直後のボールの位置はAさんの頭上で高さは$2[\text{m}]$とし、瓶に当たるとはAさんから$2[\text{m}]$先、高さ$3[\text{m}]$の位置をボールの中心が通過する軌道を描いたものとする。
また、空気抵抗は無視する。」
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2023年4月8日
三平方の定理を利用して四面体の辺の長さを求める
「$\text{OC}=10, \text{AC}=15, \text{BC}=20, ∠\text{OCA}=∠\text{OCB}=90°$である四面体$\text{OABC}$がある。この四面体に以下の条件が加わった場合の$\text{AB}$の長さを求めよ。
(1)$∠\text{BAC}=90°$
(2)$∠\text{AOB}=90°$」
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2023年4月6日
連分数で表された数はどんな数？
「次の連分数が表す数を求めよ。
(1)$3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots}}}$
(2)$-2+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}$」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2023年4月2日
2023年3月25日
2023年3月15日
楕円のy座標が最小となる点は？
「2定点$A(0,5),B(4,8)$それぞれからの距離の和が$6$である楕円の方程式を求めよ。また、この楕円上のy座標が最小となる点の座標を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2023年3月11日
2023年3月9日
三角形の重心とその性質
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この重心には、中線を$2:1$に内分するという性質があります。
三角形には必ず重心が存在することと重心の性質について確かめてみます。
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2023年3月3日
2023年2月27日
整数係数の3次方程式の有理数解の候補
整数係数の3次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0\
(a,b,c,d:整数,a\neq0)$の有理数解の候補は
\[(有理数解)=\pm\frac{\ (dの約数)\quad}{\ (aの約数)\quad}\]
となります。
なぜこの式によって有理数解の候補を挙げることができるのでしょうか？
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2023年2月25日
2023年2月23日
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2023年2月19日
三角形と台形の中点連結定理
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\[\large \text{BC}//\text{MN, BC}=2\text{MN}\]
が成り立つという定理です。
なぜこれが成り立つのでしょうか？確かめてみます。
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2023年2月18日
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2023年2月14日
円周角と弧で囲まれた部分の面積は？
このとき線分$\text{AC, BC}$と弧$\text{AB}$で囲まれた部分の面積を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2023年2月6日
2023年2月3日
2023年2月2日
2023年1月30日
タレスの定理とその逆
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円周上に円の直径の端点$\text{A, B}$とそれ以外の任意の点$\text{P}$をおくと、$∠\text{APB}=90°$（直角）となる。
という定理です。
これはなぜ成り立つのでしょうか？また、タレスの定理の逆についても考えます。
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2023年1月28日
定義域で場合分けする2次関数の最大値・最小値を求め方
「2次関数$y=x^2+6x+1$の定義域が以下の場合における最大値と最小値を答えよ。
(1)$\large a\leqq x\leqq a+1$
(2)$\large a\leqq x<a+1$
(3)$\large a<x<a+1$」このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2023年1月25日
10年間複利で1000万円達成するのに最低限必要な元金は？
「年率$3.7$%、10年間複利で1000万円にするためには初めに最低何円預ける必要があるか？千の位まで答えよ。ただし、年率は一定で、税金、費用等はかからないものとする。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2023年1月22日
2023年1月21日
2023年1月19日
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2023年1月16日
2023年1月14日
平行線と等間隔の点でつくる格子
$\text{A}_1$と$\text{C}_1$、$\text{A}_2$と$\text{C}_2$、$\text{A}_3$と$\text{C}_3$を直線$d, e, f$で結び、直線$b$との交点をそれぞれ$\text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3$とすると、以下が成り立ちます。
\begin{align*}\text{A}_n\text{B}_n&=\text{B}_n\text{C}_n\\[0.5em]\text{X}_1\text{X}_2&=\text{X}_2\text{X}_3\\ &\quad(n=1, 2, 3.\ \text{X}=\text{A, B, C}.)\end{align*}
これはなぜなのでしょうか？
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2023年1月9日
外接円の半径と内角の1つがわかっている三角形の面積のとりうる値の範囲は？
「$∠\text{A}=135°$である三角形$\text{ABC}$は半径$3$の外接円を持つ。
この三角形の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2023年1月7日
2023年1月5日
2次関数のグラフ上の2点を通る直線のy切片を求める
「2次関数$y=\dfrac{1}{3}x^2$のグラフ上のx座標が$-2$と$6$である2点を通る直線のy切片を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2023年1月3日
4つに分割された長方形の一部分の面積は？
分割された図形の内部の数字はその図形の面積である。？の部分の面積を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2023年1月2日
2つの関数のグラフに挟まれた部分の面積
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区間$a\leqq x\leqq b$において常に$f(x)\geqq
g(x)$である2つの関数$y=f(x),y=g(x)$と直線$x=a,x=b$に囲まれた部分の面積$S$は、定積分を利用して
\[S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\]
で求めることができます。
定積分はx軸より上側にある部分か下側にある部分かで正負が変わりますが、なぜx軸との位置関係に関係なくこの式で面積を求めることができるのでしょうか？
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2023年1月1日
12^5の上2桁は何？
「$12^5$の上2桁を答えよ。
ただし、$2=10^{0.3010},3=10^{0.4771}$であることをもちいてよい。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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