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2024年12月30日
リサジュー図形とは?
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
関数...三角関数.三角比
リサジュー図形とは、各点のx座標とy座標が三角関数の
\sin
や
\cos
によって決まる図形のことです。 すなわち、例えば
\begin{cases}x=A\cos(at+\theta)\\[0.5em]y=B\sin(bt+\varphi)\end{cases}
(
A,B,a,b,θ,φ:
定数)という媒介変数表示で表される図形のことをリサジュー図形といいます。 ...
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リサジュー図形とは?
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2024年12月23日
互いに素でない2数に関する命題の真偽は?
PLUMBAGO
数...整数
,
論理...命題
「
a,b
を自然数、
p
を素数とするとき、以下の命題の真偽を調べよ。 (1)
a
と
b
が互いに素でないならば
a
は
b
の倍数である (2)
a
と
p
が互いに素でないならば
a
は
p
の倍数である」 ...
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互いに素でない2数に関する命題の真偽は?
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2024年12月19日
フェルマーの小定理
PLUMBAGO
式...合同式
,
数...整数
,
数...整数...素数
,
定理
フェルマーの小定理とは、素数
p
と
p
と互いに素な整数
a
について
\begin{equation}\large a^{p-1}\equiv1\pmod p\end{equation}
が成り立つという定理のことです。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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フェルマーの小定理
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2024年12月18日
ウィルソンの定理とその逆
PLUMBAGO
式...合同式
,
数...整数...素数
,
定理
ウィルソンの定理とは、任意の素数
p
について
\begin{equation}\large(p-1)!\equiv-1\pmod p\end{equation}
が成り立つ、という定理のことです。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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ウィルソンの定理とその逆
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2024年12月17日
ある素数未満の自然数の倍数をある素数で割ったときの余りの性質
PLUMBAGO
式...合同式
,
数...整数
,
数...整数...素数
素数
p
と
p
未満の任意の自然数
k
について
\begin{equation}\large kx\equiv1\pmod p\end{equation}
を満たす
p
未満の自然数
x
が必ず存在する という性質があります。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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ある素数未満の自然数の倍数をある素数で割ったときの余りの性質
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2024年12月15日
倍数を互いに素な自然数で割ったときの余りの性質
PLUMBAGO
数...整数
互いに素な整数
A
と自然数
B
について
A,2A,\cdots,(B-1)A,BA
をそれぞれ
B
で割ったときの余りを一列に並べたものは
0,1,\cdots,B-2,B-1
の並び替えである という性質があります。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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倍数を互いに素な自然数で割ったときの余りの性質
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2024年12月9日
関数のグラフを伸び縮みさせる
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
関数
y=f(x)
と
by=f(ax)
(
a,b:
正実数)それぞれのグラフにはどのような違いがあるでしょうか? ...
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関数のグラフを伸び縮みさせる
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2024年12月6日
微分係数の定義式を利用して証明する問題
PLUMBAGO
関数...微分積分...微分
「
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)
上記の式は微分係数の定義式である。これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。
\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)
」 ...
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微分係数の定義式を利用して証明する問題
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2024年11月29日
座標平面上の点の平行移動・対称移動
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
幾何...点
,
公式
点が平行移動・対称移動したとき、移動後の座標は以下のようになります。 \begin{array}{l}\large\textbf{点$(a, b)$を}\\ \large\textbf{平行移動}\\ \textbf{x軸方向へ$p$だけ平行移動}&\large(\textcolor{red}{a+p}, b)\\[1em]\hline\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}&\large(a, \textcolor{red}{b+q})\\[1em]\hline\begin{aligned}&\textbf{x軸方向へ$p$}\\ &\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}\end{aligned}&\large(\textcolor{red}{a+p}, ...
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座標平面上の点の平行移動・対称移動
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2024年11月21日
1次関数y=ax+bはy=axをy軸方向へ平行移動したものでしかない?
PLUMBAGO
関数...1次関数
,
関数...グラフ.数直線
「1次関数(グラフの形、傾き、y切片)」にて、1次関数
y=ax+b
(
a,b:
実数、
a\neq0
)は同じ1次関数の
y=ax
をy軸方向に
b
だけ平行移動したものであると説明しましたが、y軸方向のみへの平行移動の場合でしか
y=ax+b
の形をとれないのでしょうか? ...
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1次関数y=ax+bはy=axをy軸方向へ平行移動したものでしかない?
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2024年11月18日
通る2点の座標がわかっている直線の方程式
PLUMBAGO
関数...1次関数
,
関数...グラフ.数直線
,
幾何...線
,
公式
2点
(p_1,p_2),(q_1,q_2)
を通る直線
l
の方程式は
\large y=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-p_1)+p_2
と表すことができます。 なぜこの式で表すことができるのでしょうか? ...
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通る2点の座標がわかっている直線の方程式
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通る点の座標と傾きがわかっている直線の方程式
PLUMBAGO
関数...1次関数
,
関数...グラフ.数直線
,
幾何...線
,
公式
点
(p,q)
を通る傾きが
m
の直線
l
の方程式は
\large y=m(x-p)+q
と表すことができます。 なぜこの式で表すことができるのでしょうか? ...
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通る点の座標と傾きがわかっている直線の方程式
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2024年11月17日
1次関数(グラフの形、傾き、y切片)
PLUMBAGO
関数
,
関数...1次関数
,
関数...グラフ.数直線
1次関数とは、
y=ax+b\qquad(a,b:実数,a\neq0)
という
y
が変数
x
についての次数が
1
の多項式によって表される関数のことです。
a
は傾き、
b
はy切片といいます。
a=0
のときは基本的に1次関数には含まれません。 ...
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1次関数(グラフの形、傾き、y切片)
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2024年11月7日
約分・通分とは?
PLUMBAGO
演算
,
数...分数
約分 約分とは、分数の分母と分子を同じ数で割ってより簡単な分数に直すことです。より簡単な分数とは、より小さい自然数をもちいて表される分数のことです。 ...
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約分・通分とは?
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2024年10月25日
符号を考慮した長さとは?
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
量...長さ
符号を考慮した長さとは、測る際の基準の点と方向がある長さのことです。基準となる方向と同じ方向に測ったときは正の値をとり、逆の方向に測ったときは負の値をとります。 ...
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符号を考慮した長さとは?
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2024年10月22日
座標空間内の2点間の距離
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
公式
,
量...長さ
座標空間内の2点
\text{A}(x_a,y_a,z_a),\text{B}(x_b,y_b,z_b)
間の距離
\text{AB}
は
\large\text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}
と表すことができます。 なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。 ...
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座標空間内の2点間の距離
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2024年10月20日
座標平面上の2点間の距離
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
公式
,
量...長さ
座標平面上の2点
\text{A}(x_a,y_a),\text{B}(x_b,y_b)
間の距離
\text{AB}
は
\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}
と表すことができます。 なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。 ...
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座標平面上の2点間の距離
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2024年10月17日
数直線上の2点間の距離
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
公式
,
量...長さ
2点間の距離とは、2点がどれだけ離れているかを表す
0
以上の値のことで、2点を結ぶ線分の長さのことです。 数直線上に座標が
a,b
である点
\text{A, B}
をとると、2点
\text{A, B}
間の距離
\text{AB}
は
\large\text{AB}=|b-a|\ (=|a-b|)
と表すことができます。 なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。 ...
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数直線上の2点間の距離
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2024年10月10日
三角形の傍心
PLUMBAGO
幾何...三角形
,
幾何...点...三角形の五心
,
定理
三角形の傍心とは、三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの内角に対する外角の二等分線の交点のことで、どの三角形にも傍心が3個存在します。 三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線が1点で交わることを確かめます。 ...
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三角形の傍心
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2024年10月8日
2直線がつくる角の二等分線と2直線を接線とする円の中心
PLUMBAGO
幾何...円
,
幾何...線...接線
,
幾何...線...二等分線
2直線
l,m
が1点で交わっているとき、
l,m
がつくる角の二等分線上の交点以外の点は
l,m
を接線とする円の中心となります。 このことを確かめてみます。 ...
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2直線がつくる角の二等分線と2直線を接線とする円の中心
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2024年10月2日
偶関数・奇関数とは?
PLUMBAGO
関数
,
関数...グラフ.数直線
偶関数 偶関数とは、すべての
x
で
\large f(-x)=f(x)
を満たす関数のことです。 ...
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偶関数・奇関数とは?
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2024年10月1日
三角形の内角と内心・外心と他の頂点を結んでできる角の関係を調べる
PLUMBAGO
幾何...三角形
,
幾何...点...三角形の五心
,
量...角度
三角形の1つの内角とその三角形の内心または外心と他の頂点を結んだときにできる角の大きさにはどのような関係があるでしょうか? ...
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三角形の内角と内心・外心と他の頂点を結んでできる角の関係を調べる
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2024年9月29日
四平方の定理(ド・グアの定理)
PLUMBAGO
幾何...空間図形
,
幾何...空間図形...錐体...四面体.三角錐
,
定理
,
定理...三平方の定理
,
量...面積
四平方の定理とは、 四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい という定理です。 すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれ
P, Q, R
、もう1つの面の面積を
S
とおくと
\large P^2+Q^2+R^2=S^2
が成り立つということです。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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四平方の定理(ド・グアの定理)
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2024年9月27日
三角形の外心・内心と角度
PLUMBAGO
幾何...三角形
,
幾何...点...三角形の五心
,
量...角度
「上図の角度
x,y
をそれぞれ求めよ。 (1)の点
\text{I}
は
△\text{ABC}
の内心、(2)の点
\text{O}
は
△\text{DEF}
の外心である。」 ...
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三角形の外心・内心と角度
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2024年9月23日
√2^√2^√2^√2^…はどんな値をもつか?
PLUMBAGO
関数...指数関数.べき乗
\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}}
上の数はどんな値をもつでしょうか? ...
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√2^√2^√2^√2^…はどんな値をもつか?
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2024年9月21日
二等辺三角形から30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比が求まるまで
PLUMBAGO
幾何...三角形...直角三角形
,
幾何...三角形...二等辺三角形
,
幾何...三角形...二等辺三角形...正三角形
二等辺三角形の性質を調べるところから始めて最終的に
30°-60°-90°
の直角三角形の3辺の比を求めてみます。 ただし、三角形の内角の和や三角形の合同、三平方の定理はすでにわかっているものとします。 ...
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二等辺三角形から30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比が求まるまで
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2024年9月19日
正六角形の1辺の長さや対角線の長さから面積を求める公式をつくってみる
PLUMBAGO
幾何...多角形...正多角形...正六角形
,
量...面積
正六角形の面積を1辺の長さや対角線の長さから求める公式はどのようなものでしょうか? ...
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正六角形の1辺の長さや対角線の長さから面積を求める公式をつくってみる
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2024年9月14日
台形の4辺の長さから面積を求める公式
PLUMBAGO
幾何...四角形...台形
,
公式
,
量...面積
\text{AB}//\text{CD}
である台形
\text{ABCD}
の4辺の長さがそれぞれ
\text{AB}=a,\text{BC}=b,\text{CD}=c,\text{DA}=d
(ただし、
a>c
)のとき、台形
\text{ABCD}
の面積
S
は
\large S=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{\begin{aligned}&(-a+b+c+d)(a-b-c+d)\\ &\quad\cdot(a+b-c+d)(a+b-c-d)\end{aligned}}
...
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台形の4辺の長さから面積を求める公式
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2024年9月8日
垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは?
PLUMBAGO
関数...三角関数.三角比
,
幾何...三角形
,
幾何...線...垂線
,
定理...三平方の定理
,
量...長さ
「上図のように
∠\text{A}=60°
である
△\text{ABC}
の頂点
\text{A}
から辺
\text{BC}
へ垂線
\text{AH}
をおろしたとき、
\text{AH}=6,\text{BH}=3
となった。このときの
\text{BH}
の長さを求めよ。」 ...
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垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは?
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2024年8月30日
正十二角形の面積を求める
PLUMBAGO
幾何...多角形...正多角形
,
量...面積
「上図の正十二角形の面積を求めよ。」 ...
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正十二角形の面積を求める
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2024年8月21日
直線上の点をベクトルで表すと
PLUMBAGO
幾何...線
,
線形代数...ベクトル
座標平面上の直線
l:y=ax+b
(
a,b:
実数)上の任意の点
\text{P}
を位置ベクトル
\vec{p}
をもちいて表す方法について考えてみます。 ...
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直線上の点をベクトルで表すと
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2024年8月16日
微分係数をもたない例を挙げてみる
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
関数...微分積分...微分
関数
y=f(x)
の
x=c
における微分係数
f'(c)
の定義式は
\large f'(c)=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}
です。 ここで、極限
\lim_{x\to c}f(x)
が値
α
をもつためには
\lim_{x\to c-0}f(x)=\lim_{x\to c+0}f(x)=\alpha
である必要があります。 $\lim_{x\to ...
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微分係数をもたない例を挙げてみる
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2024年8月12日
平均変化率とは?
PLUMBAGO
関数
,
関数...微分積分...微分
,
数...割合
平均変化率とは、
x
の変化量に対する
y
の変化量の割合、言い換えれば
x
の増加量
1
あたりの
y
の変化量のことです。変化の割合ともいいます。 ...
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平均変化率とは?
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2024年8月11日
なぜ連続関数は定義域の端で微分係数をもたないのか?
PLUMBAGO
関数...微分積分...微分
a\leqq x\leqq b
で定義されている連続関数
y=f(x)
の微分係数を調べると
x=a
と
x=b
における微分係数がありません。 なぜこのようなことがいえるのでしょうか? ...
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なぜ連続関数は定義域の端で微分係数をもたないのか?
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2024年8月6日
食塩水の濃度と重さの問題
PLUMBAGO
数...割合
「濃度が
3
%の食塩水
200
gを加熱して水分をいくらか蒸発させた。加熱後の食塩水の濃度を調べてみると
4
%であった。この
4
%食塩水の重さを求めよ。」 ...
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食塩水の濃度と重さの問題
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2024年8月1日
放物線上の点の作図
PLUMBAGO
幾何...作図
,
幾何...線...二次曲線
,
幾何...点
「上図の直線
l
を準線、点
\text{F}
を焦点とする放物線を通る点
\text{A, B, C}
を定規とコンパスで作図せよ。 点
\text{A}
は放物線の頂点、点
\text{B}
は放物線の頂点以外の点とし、点
\text{C}
は点
\text{A, B}
の作図法以外の方法で作図すること。」 ...
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放物線上の点の作図
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2024年7月30日
複素数平面上の3点がつくる角の大きさ
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
数...複素数
,
量...角度
複素数平面上の3点
\text{A}(α),\text{B}(β),\text{C}(γ)
がつくる角
∠\text{ABC}
は複素数
α,β,γ
をもちいて
\large∠\text{ABC}=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|
となります。 なぜこれで求めることができるのでしょうか? ...
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複素数平面上の3点がつくる角の大きさ
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2024年7月24日
複素数の偏角とarg・Arg
PLUMBAGO
関数
,
数...複素数
,
量...角度
複素数の偏角
0
でない複素数
z
の偏角は複素数平面上の実軸の正の部分から原点と点
z
を結ぶ線分である動径まで反時計回りを正として測った角(一般角)のことです。
0
の偏角は定義できません。 関連:一般角とは? ...
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https://p-suugaku.blogspot.com/2024/07/fukusosuu-arg.html
複素数の偏角とarg・Arg
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2024年7月21日
平均の速さは?
PLUMBAGO
演算
,
量...速さ.速度
「
20
kmの道のりを出発直後から道のりのちょうど中間までを時速
6
km、残りを時速
4
kmで進んだ。このときの平均の速さは時速何kmか?」 ...
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https://p-suugaku.blogspot.com/2024/07/heikin-hayasa.html
平均の速さは?
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2024年7月14日
ベクトルの成分とは?
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
線形代数...ベクトル
ベクトルの成分とは、あるベクトルを始点が原点となるように平行移動したときの終点の座標のことです。 ...
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https://p-suugaku.blogspot.com/2024/07/vector-seibun.html
ベクトルの成分とは?
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2024年7月13日
位置ベクトルとは?
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
線形代数...ベクトル
位置ベクトルとは、1つの定点を始点とするベクトルのことです。始点を基準として点の位置をベクトルによって表すことができます。 ...
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https://p-suugaku.blogspot.com/2024/07/ichi-vector.html
位置ベクトルとは?
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2024年7月7日
三角形の等積変形
PLUMBAGO
幾何...三角形
,
量...面積
図形の面積を変えずに変形することを等積変形といいます。 三角形においては頂点を自身を含む対辺に平行な直線上を移動させる変形が等積変形の1つとなります。 なぜ、この変形が三角形の等積変形となるのでしょうか? ...
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三角形の等積変形
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2024年7月3日
台形の中の三角形の面積は?(等積変形・相似比・面積比)
PLUMBAGO
幾何...合同.相似
,
幾何...三角形
,
幾何...四角形...台形
,
量...面積
「上図のような
\text{AB}//\text{CD}
である台形
\text{ABCD}
がある。平行でない対辺
\text{AD, BC}
のそれぞれ
\text{A, B}
の側を延長し、その交点を
\text{E}
とする。また、辺
\text{CD}
上に点
\text{F}
をとり
△\text{ABF}
をつくる。 台形
\text{ABCD}
の面積が
72\text{cm}^2
で
\text{BC}:\text{BE}=2:5
のとき、
△\text{ABF}
の面積を求めよ。」 ...
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台形の中の三角形の面積は?(等積変形・相似比・面積比)
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2024年7月1日
x軸を回転軸とする回転体の体積と定積分
PLUMBAGO
関数...微分積分...積分
,
幾何...空間図形
,
量...体積
関数
y=f(x)
のグラフと直線
x=a,x=b
(ただし、
a<b
)とx軸で囲まれた部分をx軸を回転軸として1回転させてできる立体の体積は
\large\pi\int^b_a\bigl\{f(x)\bigr\}^2dx
で求めることができます。 なぜこれで求めることができるのでしょうか? ...
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x軸を回転軸とする回転体の体積と定積分
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2024年6月27日
球の中心からどのくらい離れた平面で切断すれば球の1/4の体積の立体を切り取れるか?
PLUMBAGO
関数...微分積分...積分
,
幾何...空間図形
,
量...体積
球を平面で2つの立体に切断して、そのうちの1つの立体の体積が球の体積の
\dfrac{1}{4}
となるとき、切断する平面は球の中心からどのくらい離れた位置にあるでしょうか? ...
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球の中心からどのくらい離れた平面で切断すれば球の1/4の体積の立体を切り取れるか?
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2024年6月21日
直線と平面が平行であるとは?
PLUMBAGO
幾何...空間図形
直線
l
と平面
α
が平行であるとは、直線
l
と平面
α
がどれだけ延長しても交わらないことをいいます。 ...
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直線と平面が平行であるとは?
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2024年6月19日
直線と平面が垂直であるとは?
PLUMBAGO
幾何...空間図形
直線
l
と平面
α
が垂直であるとは、直線
l
と平面
α
が交わっていて、かつその交点を通る平面
α
上の直線がすべて直線
l
と垂直に交わっていることをいいます。 ...
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直線と平面が垂直であるとは?
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2024年6月14日
2次方程式を解く②(因数分解を利用する)
PLUMBAGO
演算...因数分解
,
式...方程式
,
式...方程式...2次方程式
2次方程式は因数分解を利用して解くことができます。 ...
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2次方程式を解く②(因数分解を利用する)
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2次方程式を解く①(平方根として求める)
PLUMBAGO
式...方程式
,
式...方程式...2次方程式
,
数...平方根.べき根
2次方程式の解を平方根として求めることができます。 ...
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2次方程式を解く①(平方根として求める)
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2024年6月9日
なぜa+(-b)=a-b、a-(-b)=a+bとなるのかを数直線で考える
PLUMBAGO
演算
,
関数...グラフ.数直線
正負の数の足し算において
\begin{align*}a+(-b)&=a-b\\[1em]a-(-b)&=a+b\end{align*}
が成り立ちます。 なぜこれらが成り立つのでしょうか?「正負の数の足し算・引き算を数直線で考える」と同様に主線と補助線の2本の数直線をもちいて確かめてみます。 ...
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2024年5月29日
体積を2等分できる円錐の底面に平行な面はどこにある?
PLUMBAGO
幾何...空間図形...錐体...円錐
,
幾何...合同.相似
,
量...体積
円錐を底面と平行な面で2つの立体に切り分けてそれぞれの立体の体積が等しくなるとき、円錐とその面の位置関係はどのようになっているでしょうか? ...
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体積を2等分できる円錐の底面に平行な面はどこにある?
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2024年5月21日
碁盤の目状の道路網の各交差点にたどり着く確率を求める
PLUMBAGO
確率
上図のような道路網の
\text{A}
地点から各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決めて進みます。上に進む確率と右に進む確率がともに
\dfrac{1}{2}
のときの各交差点にたどり着く確率を簡単な方法で求めてみます。 ...
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碁盤の目状の道路網の各交差点にたどり着く確率を求める
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2024年5月16日
碁盤の目状の道路網の確率(2)
PLUMBAGO
確率
「上図のような道路のスタート地点から上に進むか右に進むかをランダムに決めながら進む。上に進む確率が
\dfrac{1}{3}
、右に進む確率が
\dfrac{2}{3}
のとき、
\text{A}
地点、
\text{B}
地点、
\text{C}
地点へたどり着く確率をそれぞれ求めよ。」 ...
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碁盤の目状の道路網の確率(2)
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2024年5月11日
碁盤の目状の道路網の確率
PLUMBAGO
確率
「上図のような道路のスタート地点からゴール地点まで各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決定しながら移動する。上に進む確率と右に進む確率はともに
\dfrac{1}{2}
である。 このとき、以下の問いに答えよ。 (1)赤く示した経路を進む確率を求めよ。 (2)
\text{P}
地点を通る確率を求めよ。 (3)
\text{Q}
地点を通る確率を求めよ。」 ...
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碁盤の目状の道路網の確率
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2024年5月6日
平面座標を三角関数をもちいて表す 例題
PLUMBAGO
演算
,
関数...グラフ.数直線
,
式...方程式...三角方程式
「次の直交座標を
(r\cos\theta,r\sin\theta)
(
r>0,0\leqqθ<2\pi
)という形で表せ。 (1)
\large(\sqrt{3},1)
(2)
\large(7,-7)
(3)
\large\left(-2,-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)
」 ...
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平面座標を三角関数をもちいて表す 例題
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2024年5月3日
平面座標から三角関数の合成の公式を導く
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
関数...三角関数.三角比
,
公式
三角関数の合成の公式を平面座標を利用して導いてみます。 ...
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平面座標から三角関数の合成の公式を導く
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2024年4月26日
単位円を利用してsinとcosの加法定理を導く
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
関数...三角関数.三角比
「三角関数の加法定理」では、
\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ
のみ単位円をもちいて導きましたが、他の
\sin,\cos
の加法定理も単位円を利用して導いてみます。 ...
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単位円を利用してsinとcosの加法定理を導く
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2024年4月20日
平面座標を三角関数をもちいて表す
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
関数...三角関数.三角比
直交座標平面上の点
(a,b)
(
a\neq0
または
b\neq0
)は原点からの距離
r
、x軸の正の部分と反時計回りになす角
θ
とすると
\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)
と表すことができます。 なぜこのように表すことができるのでしょうか?2通りの方法で確かめてみます。 ...
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2024年4月17日
垂線の作図法
PLUMBAGO
幾何...作図
,
幾何...線...垂線
点
\text{P}
を通る直線
l
の垂線を定規とコンパスを使って作図する方法を、点
\text{P}
が直線
l
上にある場合とない場合の2通り紹介します。 ...
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垂線の作図法
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2024年4月10日
不等式と「かつ」と「または」
PLUMBAGO
式...不等式
,
論理
「以下の(1)~(5)のうち
x\geqq3
と同値であるものをすべて選べ。 (1)
x=3
かつ
x>3
(2)
x=3
または
x>3
(3)
x>-1
かつ
x\geqq3
(4)
x>-1
または
x\geqq3
(5)
3\leqq x\leqq7
かつ
x>7
(6)
3\leqq x\leqq7
または
x>7
」 ...
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不等式と「かつ」と「または」
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2024年4月8日
極座標から直交座標への変換 直交座標から極座標への変換
PLUMBAGO
演算
,
関数...グラフ.数直線
極座標から直交座標、直交座標から極座標への変換はどのようにするのでしょうか? ...
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極座標から直交座標への変換 直交座標から極座標への変換
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2024年4月4日
素数判定と素因数分解 例題
PLUMBAGO
数...整数...素数
「次の数が素数であるかを判定せよ。素数でなかった場合は素因数分解をおこなうこと。 (1)
191
(2)
259
(3)
101
」 ...
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素数判定と素因数分解 例題
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2024年3月31日
なぜ素数であるかを平方根以下の素数を約数としてもつかで判定できるのか?
PLUMBAGO
数...整数...素数
,
数...整数...約数.倍数
自然数
n
が素数であるかはなぜ
\sqrt{n}
以下の素数を約数としてもつかどうかで判定できるのでしょうか? ...
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なぜ素数であるかを平方根以下の素数を約数としてもつかで判定できるのか?
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2024年3月29日
極座標とは
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
極座標とは、基準となる固定された半直線と向きを定め、半直線の端点からの距離と基準の向きへの回転量によって点の位置を表す方法です。 ...
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極座標とは
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2024年3月20日
小3のテストで出たらしい問題の解説をしてみる
PLUMBAGO
数...整数...素数
,
数...整数...約数.倍数
問題はこちら↓ 小3の先日のテストに出た問題の一つ。大学受験でも解けない学生がいっぱいいるだろうし、数学好きを除き多くの大人は解けないだろう。 - Togetter ...
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小3のテストで出たらしい問題の解説をしてみる
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2024年3月14日
正方形に外接する円と半円の面積の関係を調べる
PLUMBAGO
幾何...円
,
幾何...円...おうぎ形
,
幾何...四角形...台形...平行四辺形...正方形
,
量...面積
同じ正方形に外接する円と半円の面積にはどのような関係があるでしょうか? ...
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正方形に外接する円と半円の面積の関係を調べる
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2024年3月11日
長方形の面積と対角線の長さから1辺の長さを求める
PLUMBAGO
幾何...四角形...台形...平行四辺形...長方形
,
式...方程式...連立方程式
,
量...長さ
,
量...面積
「長方形の面積が
60
、対角線の長さが
13
であるとき、この長方形の長辺の長さを求めよ。」 ...
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2024年3月8日
直交座標と極座標
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
直交座標と極座標はどちらも位置を表す方法ですが、これらはどのような違いがあるでしょうか? ...
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直交座標と極座標
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2024年2月25日
一般角とは?
PLUMBAGO
量...角度
一般角とは、符号を考慮した角度のことです。 符号を考慮しない角度は1つの定点からのびる2本の半直線の間がどれだけ開いているかを評価するものなので負の数をもちいることはありませんが、一般角は基準となる半直線と向きを定めたことによって負の数をもちいることがある角度となります。 ...
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一般角とは?
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2024年2月23日
同一直線である条件は?
PLUMBAGO
幾何...線
「相異なる3点
O,A,B
とこれらの点を通らない直線
l
を考える。2点
O,A
を通る直線と直線
l
との交点と2点
O,B
を通る直線と直線
l
との交点が同一の点であるとき、
O,A
を通る直線と
O,B
を通る直線が同一であることを示せ。」 ...
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同一直線である条件は?
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2024年2月15日
正の数a、bについてa<bと√a<√bは同値?
PLUMBAGO
式...不等式
,
数...平方根.べき根
,
論理...命題
正の数
a,b
について
a<b
ならば
\sqrt{a}<\sqrt{b}
は成り立つでしょうか?また、その逆は成り立つでしょうか? ...
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正の数a、bについてa<bと√a<√bは同値?
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2024年2月14日
長方形の各頂点と任意の点を結ぶ線分の長さの関係
PLUMBAGO
幾何...四角形...台形...平行四辺形...長方形
,
幾何...線
,
量...長さ
長方形の各頂点と任意の点を結ぶ4本の線分の長さにはどのような関係があるでしょうか? ...
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長方形の各頂点と任意の点を結ぶ線分の長さの関係
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2024年2月11日
有向線分とベクトルの違いは?
PLUMBAGO
幾何...線
,
線形代数...ベクトル
有向線分とは、線分に向きの要素を加えたものです。 線分
\text{AB}
は点
\text{A}
と点
\text{B}
の間を結ぶ真っ直ぐな線ですが、有向線分
\text{AB}
はさらに点
\text{A}
から点
\text{B}
への向きをもち、点
\text{A}
から点
\text{B}
へ向かう矢印として表します。 ...
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有向線分とベクトルの違いは?
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2024年2月6日
定積分の値が負の値になることがあるのはなぜなのか?
PLUMBAGO
関数...微分積分...積分
,
量...面積
定積分
\int_a^b{f(x)}dx
はなぜ負の値になることがあるのでしょうか? ...
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2024年1月30日
最大公約数について 間違っているのはどれ?
PLUMBAGO
数...整数...約数.倍数
「
a<b
である自然数
a,b
の最大公約数を
\text{gcd}(a,b)
と表すとき、次の中で間違っているものはどれか?すべて選べ。
\text{(i)}\ \text{gcd}(a,b)
の最大値は
a
である。
\text{(ii)}\ \text{gcd}(a,b)
のとりうる値には
a<\text{gcd}(a,b)\leqq b
を満たすものが存在する。
\text{(iii)}\ \text{gcd}(a,b)=1
であることと
a,b
は互いに素であることは同値である。 $\text{(iv)}\...
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最大公約数について 間違っているのはどれ?
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2024年1月25日
解が等式でない方程式
PLUMBAGO
式...方程式...1次方程式
,
数...絶対値
\large|5-2x|+3=2x-2
「上の方程式を解け。」 ...
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解が等式でない方程式
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2024年1月23日
内分と外分
PLUMBAGO
幾何...線
,
幾何...点
,
数...割合...比
,
量...長さ
内分と外分はどちらも線分を2つの線分に分割することですが、どのようにして分割するかが異なります。 ...
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内分と外分
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2024年1月19日
数列の和と因数分解公式
PLUMBAGO
演算...因数分解
,
数列...総和
,
数列...等比数列
「次の
S
を求めよ。 (1)
a_i=p^{n-i}q^{i-1}
とする。(ただし、
n:自然数,p^{-1}q\neq1
)
S=\sum_{j=1}^n{a_i}
(2)
a_i=p^{2(n-i)}q^{2(i-1)},b_i=p^{2(n-i)-1}q^{2i-1}
とする。(ただし、
n:自然数,p^{-1}q\neq1
)
S=\sum_{j=1}^n{a_i}-\sum_{j=i}^{n-1}{b_i}
」 ...
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数列の和と因数分解公式
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2024年1月13日
座標平面上の分点の座標 ②外分点の座標
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
幾何...点
,
数...割合...比
座標平面の2点
\text{A}(a_1, a_2), \text{B}(b_1, b_2)
を結ぶ線分
\text{AB}
を
m:n
に外分する点
\text{P}(p_1, p_2)
の
p_1, p_2
はそれぞれ
a_1, a_2, b_1, b_2
をもちいてどのように表されるでしょうか? ...
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座標平面上の分点の座標 ②外分点の座標
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座標平面上の分点の座標 ①内分点の座標
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
幾何...点
,
数...割合...比
座標平面の2点
\text{A}(a_1, a_2), \text{B}(b_1, b_2)
を結ぶ線分
\text{AB}
を
m:n
に内分する点
\text{P}(p_1, p_2)
の
p_1, p_2
はそれぞれ
a_1, a_2, b_1, b_2
をもちいてどのように表されるでしょうか? ...
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座標平面上の分点の座標 ①内分点の座標
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2024年1月10日
座標平面上の線分の中点の座標を求める
PLUMBAGO
関数...グラフ.数直線
,
幾何...点
座標平面の2点
\text{A}(a_1, a_2), \text{B}(b_1, b_2)
を結ぶ線分
\text{AB}
の中点
\text{M}(m_1, m_2)
の
m_1, m_2
はそれぞれ
a_1, a_2, b_1, b_2
をもちいてどのように表されるでしょうか? ...
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座標平面上の線分の中点の座標を求める
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2024年1月5日
円に内接する四角形の面積は?(余弦定理・トレミーの定理)
PLUMBAGO
幾何...円
,
幾何...四角形
,
定理...余弦定理
,
量...面積
「
\text{AB}=\text{BC}=6,
\text{BD}=8,
∠\text{ABC}=90°
である円に内接する四角形
\text{ABCD}
がある。四角形
\text{ABCD}
の面積を求めよ。」 ...
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円に内接する四角形の面積は?(余弦定理・トレミーの定理)
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2024年1月2日
「少なくとも1つは〇〇である」の否定は?
PLUMBAGO
確率...場合の数
,
論理
「
1,2,3,4,5,6
の番号が1つずつ書かれたカード6枚の中から2枚を引く場合を考える。 (1)『少なくとも1枚はカードの番号が偶数である』の否定はなにか? (2) (1)の答えを満たすカードの引き方は何通りか?」 ...
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「少なくとも1つは〇〇である」の否定は?
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正三角形の重心が中線を2:1に内分するのはなんでだっけ……?
図1 正三角形の重心 ...
log0はどんな数?
\log{0}
はどのような数になるでしょうか?
sin72°、cos72°、tan72°はどんな数?
72°
は
360°
の5分の1なので、 5倍角の公式 をもちいて
72°\ (=\dfrac{2\pi}{5})
のときの三角関数を求めます。
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リサジュー図形とは?
互いに素でない2数に関する命題の真偽は?
フェルマーの小定理
ウィルソンの定理とその逆
ある素数未満の自然数の倍数をある素数で割ったときの余りの性質
倍数を互いに素な自然数で割ったときの余りの性質
関数のグラフを伸び縮みさせる
微分係数の定義式を利用して証明する問題
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11月
(6)
座標平面上の点の平行移動・対称移動
1次関数y=ax+bはy=axをy軸方向へ平行移動したものでしかない?
通る2点の座標がわかっている直線の方程式
通る点の座標と傾きがわかっている直線の方程式
1次関数(グラフの形、傾き、y切片)
約分・通分とは?
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10月
(8)
符号を考慮した長さとは?
座標空間内の2点間の距離
座標平面上の2点間の距離
数直線上の2点間の距離
三角形の傍心
2直線がつくる角の二等分線と2直線を接線とする円の中心
偶関数・奇関数とは?
三角形の内角と内心・外心と他の頂点を結んでできる角の関係を調べる
►
9月
(7)
四平方の定理(ド・グアの定理)
三角形の外心・内心と角度
√2^√2^√2^√2^…はどんな値をもつか?
二等辺三角形から30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比が求まるまで
正六角形の1辺の長さや対角線の長さから面積を求める公式をつくってみる
台形の4辺の長さから面積を求める公式
垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは?
►
8月
(7)
正十二角形の面積を求める
直線上の点をベクトルで表すと
微分係数をもたない例を挙げてみる
平均変化率とは?
なぜ連続関数は定義域の端で微分係数をもたないのか?
食塩水の濃度と重さの問題
放物線上の点の作図
►
7月
(8)
複素数平面上の3点がつくる角の大きさ
複素数の偏角とarg・Arg
平均の速さは?
ベクトルの成分とは?
位置ベクトルとは?
三角形の等積変形
台形の中の三角形の面積は?(等積変形・相似比・面積比)
x軸を回転軸とする回転体の体積と定積分
►
6月
(6)
球の中心からどのくらい離れた平面で切断すれば球の1/4の体積の立体を切り取れるか?
直線と平面が平行であるとは?
直線と平面が垂直であるとは?
2次方程式を解く②(因数分解を利用する)
2次方程式を解く①(平方根として求める)
なぜa+(-b)=a-b、a-(-b)=a+bとなるのかを数直線で考える
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5月
(6)
体積を2等分できる円錐の底面に平行な面はどこにある?
碁盤の目状の道路網の各交差点にたどり着く確率を求める
碁盤の目状の道路網の確率(2)
碁盤の目状の道路網の確率
平面座標を三角関数をもちいて表す 例題
平面座標から三角関数の合成の公式を導く
►
4月
(6)
単位円を利用してsinとcosの加法定理を導く
平面座標を三角関数をもちいて表す
垂線の作図法
不等式と「かつ」と「または」
極座標から直交座標への変換 直交座標から極座標への変換
素数判定と素因数分解 例題
►
3月
(6)
なぜ素数であるかを平方根以下の素数を約数としてもつかで判定できるのか?
極座標とは
小3のテストで出たらしい問題の解説をしてみる
正方形に外接する円と半円の面積の関係を調べる
長方形の面積と対角線の長さから1辺の長さを求める
直交座標と極座標
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2月
(6)
一般角とは?
同一直線である条件は?
正の数a、bについてa<bと√a<√bは同値?
長方形の各頂点と任意の点を結ぶ線分の長さの関係
有向線分とベクトルの違いは?
定積分の値が負の値になることがあるのはなぜなのか?
►
1月
(9)
最大公約数について 間違っているのはどれ?
解が等式でない方程式
内分と外分
数列の和と因数分解公式
座標平面上の分点の座標 ②外分点の座標
座標平面上の分点の座標 ①内分点の座標
座標平面上の線分の中点の座標を求める
円に内接する四角形の面積は?(余弦定理・トレミーの定理)
「少なくとも1つは〇〇である」の否定は?
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