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2024年12月30日

リサジュー図形とは?

 リサジュー図形とは、各点のx座標とy座標が三角関数の\sin\cosによって決まる図形のことです。 すなわち、例えば \begin{cases}x=A\cos(at+\theta)\\[0.5em]y=B\sin(bt+\varphi)\end{cases}A,B,a,b,θ,φ:定数)という媒介変数表示で表される図形のことをリサジュー図形といいます。 ...
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2024年12月23日

互いに素でない2数に関する命題の真偽は?

a,bを自然数、pを素数とするとき、以下の命題の真偽を調べよ。 (1)abが互いに素でないならばabの倍数である (2)apが互いに素でないならばapの倍数である」 ...
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2024年12月19日

フェルマーの小定理

 フェルマーの小定理とは、素数ppと互いに素な整数aについて \begin{equation}\large a^{p-1}\equiv1\pmod p\end{equation} が成り立つという定理のことです。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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2024年12月18日

ウィルソンの定理とその逆

 ウィルソンの定理とは、任意の素数pについて \begin{equation}\large(p-1)!\equiv-1\pmod p\end{equation} が成り立つ、という定理のことです。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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2024年12月17日

ある素数未満の自然数の倍数をある素数で割ったときの余りの性質

 素数pp未満の任意の自然数kについて \begin{equation}\large kx\equiv1\pmod p\end{equation} を満たすp未満の自然数xが必ず存在する という性質があります。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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2024年12月15日

倍数を互いに素な自然数で割ったときの余りの性質

 互いに素な整数Aと自然数Bについて A,2A,\cdots,(B-1)A,BAをそれぞれBで割ったときの余りを一列に並べたものは0,1,\cdots,B-2,B-1の並び替えである という性質があります。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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2024年12月9日

関数のグラフを伸び縮みさせる

 関数y=f(x)by=f(ax)a,b:正実数)それぞれのグラフにはどのような違いがあるでしょうか? ...
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2024年12月6日

微分係数の定義式を利用して証明する問題

\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) 上記の式は微分係数の定義式である。これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。 \lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a) 」 ...
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2024年11月29日

座標平面上の点の平行移動・対称移動

 点が平行移動・対称移動したとき、移動後の座標は以下のようになります。 \begin{array}{l}\large\textbf{点$(a, b)$を}\\ \large\textbf{平行移動}\\ \textbf{x軸方向へ$p$だけ平行移動}&\large(\textcolor{red}{a+p}, b)\\[1em]\hline\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}&\large(a, \textcolor{red}{b+q})\\[1em]\hline\begin{aligned}&\textbf{x軸方向へ$p$}\\ &\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}\end{aligned}&\large(\textcolor{red}{a+p}, ...
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2024年11月21日

1次関数y=ax+bはy=axをy軸方向へ平行移動したものでしかない?

 「1次関数(グラフの形、傾き、y切片)」にて、1次関数y=ax+ba,b:実数、a\neq0)は同じ1次関数のy=axをy軸方向にbだけ平行移動したものであると説明しましたが、y軸方向のみへの平行移動の場合でしかy=ax+bの形をとれないのでしょうか? ...
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2024年11月18日

通る2点の座標がわかっている直線の方程式

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 2点(p_1,p_2),(q_1,q_2)を通る直線lの方程式は \large y=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-p_1)+p_2 と表すことができます。 なぜこの式で表すことができるのでしょうか? ...
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通る点の座標と傾きがわかっている直線の方程式

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 点(p,q)を通る傾きがmの直線lの方程式は \large y=m(x-p)+q と表すことができます。 なぜこの式で表すことができるのでしょうか? ...
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2024年11月17日

1次関数(グラフの形、傾き、y切片)

 1次関数とは、 y=ax+b\qquad(a,b:実数,a\neq0) というyが変数xについての次数が1の多項式によって表される関数のことです。 aは傾き、bはy切片といいます。a=0のときは基本的に1次関数には含まれません。 ...
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2024年11月7日

約分・通分とは?

約分  約分とは、分数の分母と分子を同じ数で割ってより簡単な分数に直すことです。より簡単な分数とは、より小さい自然数をもちいて表される分数のことです。 ...
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2024年10月25日

符号を考慮した長さとは?

 符号を考慮した長さとは、測る際の基準の点と方向がある長さのことです。基準となる方向と同じ方向に測ったときは正の値をとり、逆の方向に測ったときは負の値をとります。 ...
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2024年10月22日

座標空間内の2点間の距離

 座標空間内の2点\text{A}(x_a,y_a,z_a),\text{B}(x_b,y_b,z_b)間の距離\text{AB}\large\text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2} と表すことができます。 なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。 ...
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2024年10月20日

座標平面上の2点間の距離

 座標平面上の2点\text{A}(x_a,y_a),\text{B}(x_b,y_b)間の距離\text{AB}\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2} と表すことができます。 なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。 ...
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2024年10月17日

数直線上の2点間の距離

 2点間の距離とは、2点がどれだけ離れているかを表す0以上の値のことで、2点を結ぶ線分の長さのことです。 数直線上に座標がa,bである点\text{A, B}をとると、2点\text{A, B}間の距離\text{AB}\large\text{AB}=|b-a|\ (=|a-b|) と表すことができます。 なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。 ...
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2024年10月10日

三角形の傍心

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 三角形の傍心とは、三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの内角に対する外角の二等分線の交点のことで、どの三角形にも傍心が3個存在します。 三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線が1点で交わることを確かめます。 ...
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2024年10月8日

2直線がつくる角の二等分線と2直線を接線とする円の中心

 2直線l,mが1点で交わっているとき、l,mがつくる角の二等分線上の交点以外の点はl,mを接線とする円の中心となります。 このことを確かめてみます。 ...
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2024年10月2日

偶関数・奇関数とは?

偶関数  偶関数とは、すべてのx\large f(-x)=f(x) を満たす関数のことです。 ...
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2024年10月1日

三角形の内角と内心・外心と他の頂点を結んでできる角の関係を調べる

 三角形の1つの内角とその三角形の内心または外心と他の頂点を結んだときにできる角の大きさにはどのような関係があるでしょうか? ...
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2024年9月29日

四平方の定理(ド・グアの定理)

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 四平方の定理とは、 四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい という定理です。 すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれP, Q, R、もう1つの面の面積をSとおくと \large P^2+Q^2+R^2=S^2 が成り立つということです。 これが成り立つことを確かめてみます。 ...
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2024年9月27日

三角形の外心・内心と角度

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「上図の角度x,yをそれぞれ求めよ。 (1)の点\text{I}△\text{ABC}の内心、(2)の点\text{O}△\text{DEF}の外心である。」 ...
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2024年9月23日

√2^√2^√2^√2^…はどんな値をもつか?

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}}  上の数はどんな値をもつでしょうか? ...
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2024年9月21日

二等辺三角形から30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比が求まるまで

 二等辺三角形の性質を調べるところから始めて最終的に30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比を求めてみます。 ただし、三角形の内角の和や三角形の合同、三平方の定理はすでにわかっているものとします。 ...
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2024年9月19日

正六角形の1辺の長さや対角線の長さから面積を求める公式をつくってみる

 正六角形の面積を1辺の長さや対角線の長さから求める公式はどのようなものでしょうか? ...
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2024年9月14日

台形の4辺の長さから面積を求める公式

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 \text{AB}//\text{CD}である台形\text{ABCD}の4辺の長さがそれぞれ\text{AB}=a,\text{BC}=b,\text{CD}=c,\text{DA}=d(ただし、a>c)のとき、台形\text{ABCD}の面積S\large S=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{\begin{aligned}&(-a+b+c+d)(a-b-c+d)\\ &\quad\cdot(a+b-c+d)(a+b-c-d)\end{aligned}} ...
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2024年9月8日

垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは?

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「上図のように∠\text{A}=60°である△\text{ABC}の頂点\text{A}から辺\text{BC}へ垂線\text{AH}をおろしたとき、\text{AH}=6,\text{BH}=3となった。このときの\text{BH}の長さを求めよ。」 ...
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2024年8月30日

正十二角形の面積を求める

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「上図の正十二角形の面積を求めよ。」 ...
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2024年8月21日

直線上の点をベクトルで表すと

 座標平面上の直線l:y=ax+ba,b:実数)上の任意の点\text{P}を位置ベクトル\vec{p}をもちいて表す方法について考えてみます。 ...
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2024年8月16日

微分係数をもたない例を挙げてみる

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 関数y=f(x)x=cにおける微分係数f'(c)の定義式は \large f'(c)=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} です。 ここで、極限\lim_{x\to c}f(x)が値αをもつためには \lim_{x\to c-0}f(x)=\lim_{x\to c+0}f(x)=\alpha である必要があります。 $\lim_{x\to ...
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2024年8月12日

平均変化率とは?

 平均変化率とは、xの変化量に対するyの変化量の割合、言い換えればxの増加量1あたりのyの変化量のことです。変化の割合ともいいます。 ...
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2024年8月11日

なぜ連続関数は定義域の端で微分係数をもたないのか?

 a\leqq x\leqq bで定義されている連続関数y=f(x)の微分係数を調べるとx=ax=bにおける微分係数がありません。 なぜこのようなことがいえるのでしょうか? ...
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2024年8月6日

食塩水の濃度と重さの問題

「濃度が3%の食塩水200gを加熱して水分をいくらか蒸発させた。加熱後の食塩水の濃度を調べてみると4%であった。この4%食塩水の重さを求めよ。」 ...
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2024年8月1日

放物線上の点の作図

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「上図の直線lを準線、点\text{F}を焦点とする放物線を通る点\text{A, B, C}を定規とコンパスで作図せよ。 点\text{A}は放物線の頂点、点\text{B}は放物線の頂点以外の点とし、点\text{C}は点\text{A, B}の作図法以外の方法で作図すること。」 ...
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2024年7月30日

複素数平面上の3点がつくる角の大きさ

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 複素数平面上の3点\text{A}(α),\text{B}(β),\text{C}(γ)がつくる角∠\text{ABC}は複素数α,β,γをもちいて \large∠\text{ABC}=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right| となります。 なぜこれで求めることができるのでしょうか? ...
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2024年7月24日

複素数の偏角とarg・Arg

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複素数の偏角  0でない複素数zの偏角は複素数平面上の実軸の正の部分から原点と点zを結ぶ線分である動径まで反時計回りを正として測った角(一般角)のことです。0の偏角は定義できません。 関連:一般角とは? ...
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2024年7月21日

平均の速さは?

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20kmの道のりを出発直後から道のりのちょうど中間までを時速6km、残りを時速4kmで進んだ。このときの平均の速さは時速何kmか?」 ...
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2024年7月14日

ベクトルの成分とは?

 ベクトルの成分とは、あるベクトルを始点が原点となるように平行移動したときの終点の座標のことです。 ...
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2024年7月13日

位置ベクトルとは?

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 位置ベクトルとは、1つの定点を始点とするベクトルのことです。始点を基準として点の位置をベクトルによって表すことができます。 ...
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2024年7月7日

三角形の等積変形

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 図形の面積を変えずに変形することを等積変形といいます。 三角形においては頂点を自身を含む対辺に平行な直線上を移動させる変形が等積変形の1つとなります。 なぜ、この変形が三角形の等積変形となるのでしょうか? ...
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2024年7月3日

台形の中の三角形の面積は?(等積変形・相似比・面積比)

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「上図のような\text{AB}//\text{CD}である台形\text{ABCD}がある。平行でない対辺\text{AD, BC}のそれぞれ\text{A, B}の側を延長し、その交点を\text{E}とする。また、辺\text{CD}上に点\text{F}をとり△\text{ABF}をつくる。 台形\text{ABCD}の面積が72\text{cm}^2\text{BC}:\text{BE}=2:5のとき、△\text{ABF}の面積を求めよ。」 ...
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2024年7月1日

x軸を回転軸とする回転体の体積と定積分

 関数y=f(x)のグラフと直線x=a,x=b(ただし、a<b)とx軸で囲まれた部分をx軸を回転軸として1回転させてできる立体の体積は \large\pi\int^b_a\bigl\{f(x)\bigr\}^2dx で求めることができます。 なぜこれで求めることができるのでしょうか? ...
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2024年6月27日

球の中心からどのくらい離れた平面で切断すれば球の1/4の体積の立体を切り取れるか?

 球を平面で2つの立体に切断して、そのうちの1つの立体の体積が球の体積の\dfrac{1}{4}となるとき、切断する平面は球の中心からどのくらい離れた位置にあるでしょうか? ...
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2024年6月21日

直線と平面が平行であるとは?

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 直線lと平面αが平行であるとは、直線lと平面αがどれだけ延長しても交わらないことをいいます。 ...
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2024年6月19日

直線と平面が垂直であるとは?

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 直線lと平面αが垂直であるとは、直線lと平面αが交わっていて、かつその交点を通る平面α上の直線がすべて直線lと垂直に交わっていることをいいます。 ...
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2024年6月14日

2次方程式を解く②(因数分解を利用する)

 2次方程式は因数分解を利用して解くことができます。 ...
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2次方程式を解く①(平方根として求める)

 2次方程式の解を平方根として求めることができます。 ...
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2024年6月9日

なぜa+(-b)=a-b、a-(-b)=a+bとなるのかを数直線で考える

 正負の数の足し算において \begin{align*}a+(-b)&=a-b\\[1em]a-(-b)&=a+b\end{align*} が成り立ちます。 なぜこれらが成り立つのでしょうか?「正負の数の足し算・引き算を数直線で考える」と同様に主線と補助線の2本の数直線をもちいて確かめてみます。 ...
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2024年5月29日

体積を2等分できる円錐の底面に平行な面はどこにある?

 円錐を底面と平行な面で2つの立体に切り分けてそれぞれの立体の体積が等しくなるとき、円錐とその面の位置関係はどのようになっているでしょうか? ...
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2024年5月21日

碁盤の目状の道路網の各交差点にたどり着く確率を求める

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 上図のような道路網の\text{A}地点から各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決めて進みます。上に進む確率と右に進む確率がともに\dfrac{1}{2}のときの各交差点にたどり着く確率を簡単な方法で求めてみます。 ...
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2024年5月16日

碁盤の目状の道路網の確率(2)

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「上図のような道路のスタート地点から上に進むか右に進むかをランダムに決めながら進む。上に進む確率が\dfrac{1}{3}、右に進む確率が\dfrac{2}{3}のとき、\text{A}地点、\text{B}地点、\text{C}地点へたどり着く確率をそれぞれ求めよ。」 ...
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2024年5月11日

碁盤の目状の道路網の確率

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「上図のような道路のスタート地点からゴール地点まで各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決定しながら移動する。上に進む確率と右に進む確率はともに\dfrac{1}{2}である。 このとき、以下の問いに答えよ。 (1)赤く示した経路を進む確率を求めよ。 (2)\text{P}地点を通る確率を求めよ。 (3)\text{Q}地点を通る確率を求めよ。」 ...
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2024年5月6日

平面座標を三角関数をもちいて表す 例題

「次の直交座標を(r\cos\theta,r\sin\theta)r>0,0\leqqθ<2\pi)という形で表せ。 (1)\large(\sqrt{3},1) (2)\large(7,-7) (3)\large\left(-2,-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)」 ...
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2024年5月3日

平面座標から三角関数の合成の公式を導く

 三角関数の合成の公式を平面座標を利用して導いてみます。 ...
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2024年4月26日

単位円を利用してsinとcosの加法定理を導く

 「三角関数の加法定理」では、\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβのみ単位円をもちいて導きましたが、他の\sin,\cosの加法定理も単位円を利用して導いてみます。 ...
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2024年4月20日

平面座標を三角関数をもちいて表す

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 直交座標平面上の点(a,b)a\neq0またはb\neq0)は原点からの距離r、x軸の正の部分と反時計回りになす角θとすると \large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta) と表すことができます。 なぜこのように表すことができるのでしょうか?2通りの方法で確かめてみます。 ...
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2024年4月17日

垂線の作図法

 点\text{P}を通る直線lの垂線を定規とコンパスを使って作図する方法を、点\text{P}が直線l上にある場合とない場合の2通り紹介します。 ...
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2024年4月10日

不等式と「かつ」と「または」

「以下の(1)~(5)のうちx\geqq3と同値であるものをすべて選べ。 (1)x=3かつx>3 (2)x=3またはx>3 (3)x>-1かつx\geqq3 (4)x>-1またはx\geqq3 (5)3\leqq x\leqq7かつx>7 (6)3\leqq x\leqq7またはx>7」 ...
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2024年4月8日

極座標から直交座標への変換 直交座標から極座標への変換

 極座標から直交座標、直交座標から極座標への変換はどのようにするのでしょうか? ...
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2024年4月4日

素数判定と素因数分解 例題

「次の数が素数であるかを判定せよ。素数でなかった場合は素因数分解をおこなうこと。 (1)191 (2)259 (3)101」 ...
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2024年3月31日

なぜ素数であるかを平方根以下の素数を約数としてもつかで判定できるのか?

 自然数nが素数であるかはなぜ\sqrt{n}以下の素数を約数としてもつかどうかで判定できるのでしょうか? ...
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2024年3月29日

極座標とは

 極座標とは、基準となる固定された半直線と向きを定め、半直線の端点からの距離と基準の向きへの回転量によって点の位置を表す方法です。 ...
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2024年3月20日

小3のテストで出たらしい問題の解説をしてみる

問題はこちら↓ 小3の先日のテストに出た問題の一つ。大学受験でも解けない学生がいっぱいいるだろうし、数学好きを除き多くの大人は解けないだろう。 - Togetter ...
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2024年3月14日

正方形に外接する円と半円の面積の関係を調べる

 同じ正方形に外接する円と半円の面積にはどのような関係があるでしょうか? ...
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2024年3月11日

長方形の面積と対角線の長さから1辺の長さを求める

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「長方形の面積が60、対角線の長さが13であるとき、この長方形の長辺の長さを求めよ。」 ...
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2024年3月8日

直交座標と極座標

 直交座標と極座標はどちらも位置を表す方法ですが、これらはどのような違いがあるでしょうか? ...
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2024年2月25日

一般角とは?

 一般角とは、符号を考慮した角度のことです。 符号を考慮しない角度は1つの定点からのびる2本の半直線の間がどれだけ開いているかを評価するものなので負の数をもちいることはありませんが、一般角は基準となる半直線と向きを定めたことによって負の数をもちいることがある角度となります。 ...
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2024年2月23日

同一直線である条件は?

「相異なる3点O,A,Bとこれらの点を通らない直線lを考える。2点O,Aを通る直線と直線lとの交点と2点O,Bを通る直線と直線lとの交点が同一の点であるとき、O,Aを通る直線とO,Bを通る直線が同一であることを示せ。」 ...
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2024年2月15日

正の数a、bについてa<bと√a<√bは同値?

 正の数a,bについてa<bならば\sqrt{a}<\sqrt{b}は成り立つでしょうか?また、その逆は成り立つでしょうか? ...
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2024年2月14日

長方形の各頂点と任意の点を結ぶ線分の長さの関係

 長方形の各頂点と任意の点を結ぶ4本の線分の長さにはどのような関係があるでしょうか? ...
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2024年2月11日

有向線分とベクトルの違いは?

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有向線分とは、線分に向きの要素を加えたものです。 線分\text{AB}は点\text{A}と点\text{B}の間を結ぶ真っ直ぐな線ですが、有向線分\text{AB}はさらに点\text{A}から点\text{B}への向きをもち、点\text{A}から点\text{B}へ向かう矢印として表します。 ...
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2024年2月6日

定積分の値が負の値になることがあるのはなぜなのか?

 定積分\int_a^b{f(x)}dxはなぜ負の値になることがあるのでしょうか? ...
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2024年1月30日

最大公約数について 間違っているのはどれ?

a<bである自然数a,bの最大公約数を\text{gcd}(a,b)と表すとき、次の中で間違っているものはどれか?すべて選べ。 \text{(i)}\ \text{gcd}(a,b)の最大値はaである。 \text{(ii)}\ \text{gcd}(a,b)のとりうる値にはa<\text{gcd}(a,b)\leqq bを満たすものが存在する。 \text{(iii)}\ \text{gcd}(a,b)=1であることとa,bは互いに素であることは同値である。 $\text{(iv)}\...
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2024年1月25日

解が等式でない方程式

\large|5-2x|+3=2x-2 「上の方程式を解け。」 ...
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2024年1月23日

内分と外分

 内分と外分はどちらも線分を2つの線分に分割することですが、どのようにして分割するかが異なります。 ...
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2024年1月19日

数列の和と因数分解公式

「次のSを求めよ。 (1)a_i=p^{n-i}q^{i-1}とする。(ただし、n:自然数,p^{-1}q\neq1S=\sum_{j=1}^n{a_i} (2)a_i=p^{2(n-i)}q^{2(i-1)},b_i=p^{2(n-i)-1}q^{2i-1}とする。(ただし、n:自然数,p^{-1}q\neq1S=\sum_{j=1}^n{a_i}-\sum_{j=i}^{n-1}{b_i}」 ...
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2024年1月13日

座標平面上の分点の座標 ②外分点の座標

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 座標平面の2点\text{A}(a_1, a_2), \text{B}(b_1, b_2)を結ぶ線分\text{AB}m:nに外分する点\text{P}(p_1, p_2)p_1, p_2はそれぞれa_1, a_2, b_1, b_2をもちいてどのように表されるでしょうか? ...
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座標平面上の分点の座標 ①内分点の座標

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 座標平面の2点\text{A}(a_1, a_2), \text{B}(b_1, b_2)を結ぶ線分\text{AB}m:nに内分する点\text{P}(p_1, p_2)p_1, p_2はそれぞれa_1, a_2, b_1, b_2をもちいてどのように表されるでしょうか? ...
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2024年1月10日

座標平面上の線分の中点の座標を求める

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 座標平面の2点\text{A}(a_1, a_2), \text{B}(b_1, b_2)を結ぶ線分\text{AB}の中点\text{M}(m_1, m_2)m_1, m_2はそれぞれa_1, a_2, b_1, b_2をもちいてどのように表されるでしょうか? ...
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2024年1月5日

円に内接する四角形の面積は?(余弦定理・トレミーの定理)

\text{AB}=\text{BC}=6, \text{BD}=8, ∠\text{ABC}=90°である円に内接する四角形\text{ABCD}がある。四角形\text{ABCD}の面積を求めよ。」 ...
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2024年1月2日

「少なくとも1つは〇〇である」の否定は?

1,2,3,4,5,6の番号が1つずつ書かれたカード6枚の中から2枚を引く場合を考える。 (1)『少なくとも1枚はカードの番号が偶数である』の否定はなにか? (2) (1)の答えを満たすカードの引き方は何通りか?」 ...
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