リサジュー図形とは、各点のx座標とy座標が三角関数の$\sin$や$\cos$によって決まる図形のことです。
すなわち、例えば
\begin{cases}x=A\cos(at+\theta)\\[0.5em]y=B\sin(bt+\varphi)\end{cases}
（$A,B,a,b,θ,φ:$定数）という媒介変数表示で表される図形のことをリサジュー図形といいます。
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2024年12月30日
2024年12月23日
互いに素でない2数に関する命題の真偽は？
「$a,b$を自然数、$p$を素数とするとき、以下の命題の真偽を調べよ。
(1)$a$と$b$が互いに素でないならば$a$は$b$の倍数である
(2)$a$と$p$が互いに素でないならば$a$は$p$の倍数である」
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2024年12月19日
2024年12月18日
ウィルソンの定理とその逆
ウィルソンの定理とは、任意の素数$p$について
\begin{equation}\large(p-1)!\equiv-1\pmod p\end{equation}
が成り立つ、という定理のことです。
これが成り立つことを確かめてみます。
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2024年12月17日
ある素数未満の自然数の倍数をある素数で割ったときの余りの性質
素数$p$と$p$未満の任意の自然数$k$について
という性質があります。
\begin{equation}\large kx\equiv1\pmod p\end{equation}
を満たす$p$未満の自然数$x$が必ず存在する
これが成り立つことを確かめてみます。
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2024年12月15日
倍数を互いに素な自然数で割ったときの余りの性質
互いに素な整数$A$と自然数$B$について
$A,2A,\cdots,(B-1)A,BA$をそれぞれ$B$で割ったときの余りを一列に並べたものは$0,1,\cdots,B-2,B-1$の並び替えである
という性質があります。
$A,2A,\cdots,(B-1)A,BA$をそれぞれ$B$で割ったときの余りを一列に並べたものは$0,1,\cdots,B-2,B-1$の並び替えである
これが成り立つことを確かめてみます。
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2024年12月9日
2024年12月6日
微分係数の定義式を利用して証明する問題
「
これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。
\[\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\]
上記の式は微分係数の定義式である。これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。
\[\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)\]
」
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2024年11月29日
座標平面上の点の平行移動・対称移動
点が平行移動・対称移動したとき、移動後の座標は以下のようになります。
\begin{array}{l}\large\textbf{点$(a, b)$を}\\ \large\textbf{平行移動}\\
\textbf{x軸方向へ$p$だけ平行移動}&\large(\textcolor{red}{a+p},
b)\\[1em]\hline\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}&\large(a,
\textcolor{red}{b+q})\\[1em]\hline\begin{aligned}&\textbf{x軸方向へ$p$}\\
&\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}\end{aligned}&\large(\textcolor{red}{a+p},
\textcolor{blue}{b+q})\\[2em]\hline\large\textbf{対称移動}\\
\textbf{x軸に関して対称移動}&\large(a,
\textcolor{red}{-b})\\[1em]\hline\textbf{y軸に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{-a},
b)\\[1em]\hline\textbf{原点に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{-a},
\textcolor{blue}{-b})\\[1em]\hline\textbf{直線$x=p$に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{2p-a},
b)\\[1em]\hline\textbf{直線$y=q$に関して対称移動}&\large(a,
\textcolor{red}{2q-b})\\[1em]\hline\textbf{点$(p,
q)$に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{2p-a},
\textcolor{blue}{2q-b})\\[1em]\hline\textbf{直線$y=x$に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{b},
\textcolor{blue}{a})\\ \hline\end{array}
なぜこのようになるのかを考えます。
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2024年11月21日
1次関数y=ax+bはy=axをy軸方向へ平行移動したものでしかない？
「1次関数（グラフの形、傾き、y切片）」にて、1次関数$y=ax+b$（$a,b:$実数、$a\neq0$）は同じ1次関数の$y=ax$をy軸方向に$b$だけ平行移動したものであると説明しましたが、y軸方向のみへの平行移動の場合でしか$y=ax+b$の形をとれないのでしょうか？
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2024年11月18日
通る2点の座標がわかっている直線の方程式
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\[\large y=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-p_1)+p_2\]
と表すことができます。
なぜこの式で表すことができるのでしょうか？
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通る点の座標と傾きがわかっている直線の方程式
\[\large y=m(x-p)+q\]
と表すことができます。
なぜこの式で表すことができるのでしょうか？
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2024年11月17日
1次関数（グラフの形、傾き、y切片）
1次関数とは、
\[y=ax+b\qquad(a,b:実数,a\neq0)\]
という従属変数$y$が独立変数$x$についての1次式によって表される関数のことです。
$a$は傾き、$b$はy切片といいます。$a=0$のときは基本的に1次関数には含まれません。
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2024年11月7日
2024年10月25日
2024年10月22日
座標空間内の2点間の距離
座標空間内の2点$\text{A}(x_a,y_a,z_a),\text{B}(x_b,y_b,z_b)$間の距離$\text{AB}$は
\[\large\text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}\]
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。
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2024年10月20日
座標平面上の2点間の距離
座標平面上の2点$\text{A}(x_a,y_a),\text{B}(x_b,y_b)$間の距離$\text{AB}$は
\[\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\]
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。
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2024年10月17日
数直線上の2点間の距離
2点間の距離とは、2点がどれだけ離れているかを表す$0$以上の値のことで、2点を結ぶ線分の長さのことです。
数直線上に座標が$a,b$である点$\text{A, B}$をとると、2点$\text{A, B}$間の距離$\text{AB}$は
数直線上に座標が$a,b$である点$\text{A, B}$をとると、2点$\text{A, B}$間の距離$\text{AB}$は
\[\large\text{AB}=|b-a|\ (=|a-b|)\]
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。
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2024年10月10日
2024年10月8日
2024年10月2日
2024年10月1日
2024年9月29日
四平方の定理（ド・グアの定理）
四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい
という定理です。
すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれ$P, Q, R$、もう1つの面の面積を$S$とおくと
\[\large P^2+Q^2+R^2=S^2\]
が成り立つということです。
これが成り立つことを確かめてみます。
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2024年9月27日
三角形の外心・内心と角度
(1)の点$\text{I}$は$△\text{ABC}$の内心、(2)の点$\text{O}$は$△\text{DEF}$の外心である。」
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2024年9月23日
2024年9月21日
二等辺三角形から30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比が求まるまで
二等辺三角形の性質を調べるところから始めて最終的に$30°-60°-90°$の直角三角形の3辺の比を求めてみます。
ただし、三角形の内角の和や三角形の合同、三平方の定理はすでにわかっているものとします。
ただし、三角形の内角の和や三角形の合同、三平方の定理はすでにわかっているものとします。
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2024年9月19日
2024年9月14日
台形の4辺の長さから面積を求める公式
\[\large
S=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{\begin{aligned}&(-a+b+c+d)(a-b-c+d)\\
&\quad\cdot(a+b-c+d)(a+b-c-d)\end{aligned}}\]
で求めることができます。（長いので根号内で改行しています。）
なぜこれで台形$\text{ABCD}$の面積が求められるのでしょうか？
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2024年9月8日
垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは？
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2024年8月30日
2024年8月21日
2024年8月16日
微分係数をもたない例を挙げてみる
\[\large f'(c)=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\]
です。
ここで、極限$\lim_{x\to c}f(x)$が値$α$をもつためには
$\lim_{x\to c-0}f(x)$は$x$を$c$より小さい値から$c$に限りなく近づける左側極限、$\lim_{x\to c+0}f(x)$は$x$を$c$より大きい値から$c$に限りなく近づける右側極限です。
\[\lim_{x\to c-0}f(x)=\lim_{x\to c+0}f(x)=\alpha\]
である必要があります。$\lim_{x\to c-0}f(x)$は$x$を$c$より小さい値から$c$に限りなく近づける左側極限、$\lim_{x\to c+0}f(x)$は$x$を$c$より大きい値から$c$に限りなく近づける右側極限です。
したがって、微分係数$f'(c)$の定義式においては微分係数$f'(c)$が値$α$をもつためには
\[\lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\alpha\]
が成り立つ必要があります。
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2024年8月12日
2024年8月11日
なぜ連続関数は定義域の端で微分係数をもたないのか？
$a\leqq x\leqq b$で定義されている連続関数$y=f(x)$の微分係数を調べると$x=a$と$x=b$における微分係数がありません。
なぜこのようなことがいえるのでしょうか？
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2024年8月6日
2024年8月1日
2024年7月30日
複素数平面上の3点がつくる角の大きさ
\[\large∠\text{ABC}=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|\]
となります。
なぜこれで求めることができるのでしょうか？
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2024年7月24日
複素数の偏角とarg・Arg
複素数の偏角
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2024年7月21日
2024年7月14日
2024年7月7日
2024年7月3日
台形の中の三角形の面積は？（等積変形・相似比・面積比）
台形$\text{ABCD}$の面積が$72\text{cm}^2$で$\text{BC}:\text{BE}=2:5$のとき、$△\text{ABF}$の面積を求めよ。」
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2024年7月1日
x軸を回転軸とする回転体の体積と定積分
関数$y=f(x)$のグラフと直線$x=a,x=b$（ただし、$a<b$）とx軸で囲まれた部分をx軸を回転軸として1回転させてできる立体の体積は
\[\large\pi\int^b_a\bigl\{f(x)\bigr\}^2dx\]
で求めることができます。
なぜこれで求めることができるのでしょうか？
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2024年6月27日
球の中心からどのくらい離れた平面で切断すれば球の1/4の体積の立体を切り取れるか？
球を平面で2つの立体に切断して、そのうちの1つの立体の体積が球の体積の$\dfrac{1}{4}$となるとき、切断する平面は球の中心からどのくらい離れた位置にあるでしょうか？
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2024年6月21日
2024年6月19日
直線と平面が垂直であるとは？
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2024年6月14日
2024年6月9日
なぜa+(-b)=a-b、a-(-b)=a+bとなるのかを数直線で考える
正負の数の足し算において
\begin{align*}a+(-b)&=a-b\\[1em]a-(-b)&=a+b\end{align*}
が成り立ちます。
なぜこれらが成り立つのでしょうか？「正負の数の足し算・引き算を数直線で考える」と同様に主線と補助線の2本の数直線をもちいて確かめてみます。
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2024年5月29日
2024年5月21日
碁盤の目状の道路網の各交差点にたどり着く確率を求める
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2024年5月16日
碁盤の目状の道路網の確率(2)
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2024年5月11日
碁盤の目状の道路網の確率
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)赤く示した経路を進む確率を求めよ。
(2)$\text{P}$地点を通る確率を求めよ。
(3)$\text{Q}$地点を通る確率を求めよ。」
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2024年5月6日
平面座標を三角関数をもちいて表す 例題
「次の直交座標を$(r\cos\theta,r\sin\theta)$（$r>0,0\leqqθ<2\pi$）という形で表せ。
(1)$\large(\sqrt{3},1)$
(2)$\large(7,-7)$
(3)$\large\left(-2,-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)$」
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2024年5月3日
2024年4月26日
2024年4月20日
平面座標を三角関数をもちいて表す
\[\large(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\]
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？2通りの方法で確かめてみます。
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2024年4月17日
2024年4月10日
不等式と「かつ」と「または」
「以下の(1)～(5)のうち$x\geqq3$と同値であるものをすべて選べ。
(1)$x=3$かつ$x>3$
(2)$x=3$または$x>3$
(3)$x>-1$かつ$x\geqq3$
(4)$x>-1$または$x\geqq3$
(5)$3\leqq x\leqq7$かつ$x>7$
(6)$3\leqq x\leqq7$または$x>7$」
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2024年4月8日
2024年4月4日
2024年3月31日
2024年3月20日
2024年3月14日
2024年3月11日
2024年2月25日
2024年2月23日
同一直線である条件は？
「相異なる3点$O,A,B$とこれらの点を通らない直線$l$を考える。
2点$O,A$を通る直線と直線$l$との交点と2点$O,B$を通る直線と直線$l$との交点が同一の点であるとき、$O,A$を通る直線と$O,B$を通る直線が同一であることを示せ。」
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2024年2月15日
2024年2月14日
2024年2月11日
有向線分とベクトルの違いは？
線分$\text{AB}$は点$\text{A}$と点$\text{B}$の間を結ぶ真っ直ぐな線ですが、有向線分$\text{AB}$はさらに点$\text{A}$から点$\text{B}$への向きをもち、点$\text{A}$から点$\text{B}$へ向かう矢印として表します。
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2024年2月6日
2024年1月30日
最大公約数について 間違っているのはどれ？
「$a<b$である自然数$a,b$の最大公約数を$\text{gcd}(a,b)$と表すとき、次の中で間違っているものはどれか？すべて選べ。
$\text{(i)}\ \text{gcd}(a,b)$の最大値は$a$である。
$\text{(ii)}\ \text{gcd}(a,b)$のとりうる値には$a<\text{gcd}(a,b)\leqq b$を満たすものが存在する。
$\text{(iii)}\ \text{gcd}(a,b)=1$であることと$a,b$は互いに素であることは同値である。
$\text{(iv)}\ \text{gcd}(a,b)=a$ならば$b$は$a$の倍数である。
$\text{(v)}\ \text{gcd}(a,b)$は$b$を$a$で割ったときの余りである。」
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2024年1月25日
2024年1月19日
数列の和と因数分解公式
「次の$S$を求めよ。
(1)$a_i=p^{n-i}q^{i-1}$とする。（ただし、$n:自然数,p^{-1}q\neq1$）
$S=\sum_{j=1}^n{a_i}$
(1)$a_i=p^{n-i}q^{i-1}$とする。（ただし、$n:自然数,p^{-1}q\neq1$）
$S=\sum_{j=1}^n{a_i}$
(2)$a_i=p^{2(n-i)}q^{2(i-1)},b_i=p^{2(n-i)-1}q^{2i-1}$とする。（ただし、$n:自然数,p^{-1}q\neq1$）
$S=\sum_{j=1}^n{a_i}-\sum_{j=i}^{n-1}{b_i}$」
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2024年1月13日
座標平面上の分点の座標 ②外分点の座標
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座標平面上の分点の座標 ①内分点の座標
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2024年1月10日
座標平面上の線分の中点の座標を求める
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2024年1月5日
円に内接する四角形の面積は？（余弦定理・トレミーの定理）
「$\text{AB}=\text{BC}=6,$ $\text{BD}=8,$ $∠\text{ABC}=90°$である円に内接する四角形$\text{ABCD}$がある。四角形$\text{ABCD}$の面積を求めよ。」
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2024年1月2日
「少なくとも1つは〇〇である」の否定は？
「$1,2,3,4,5,6$の番号が1つずつ書かれたカード6枚の中から2枚を引く場合を考える。
(1)『少なくとも1枚はカードの番号が偶数である』の否定はなにか？
(2) (1)の答えを満たすカードの引き方は何通りか？」
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