点と直線の距離とは、定点と直線上の1点の間の距離の中で最短であるもののことで、座標平面上の点\text{P}(p, q)と直線l:\
ax+by+c=0（a, b, c, p, q:実数、a\neq0またはb\neq0）の距離Lは
\large L=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？
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2021年12月29日
2021年12月25日
2021年12月21日
直線の方程式と定義域
「上図のグラフに描かれている\text{(a), (b), (c)}の直線の式と定義域を答えよ。ただし、\text{(a)}は点\text{A, B}を含む、\text{(b)}は点\text{B}を含まないが点\text{C}を含む、\text{(c)}は点\text{C}も\text{D}も含まないものとする。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2021年12月19日
2021年12月18日
2021年12月16日
多項式を割る式で割ったときの余りと余りを同じ割る式で割ったときの余りが等しいのはなぜ？
多項式の割り算の余りの性質として
”f(x)をg(x)h(x)で割ったときの余りをR(x)とすると、f(x)をg(x)で割ったときの余りはR(x)をg(x)で割ったときの余りと等しい。”
というものがあります。
これは、なぜ成立するのでしょうか？
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2021年12月12日
2021年12月10日
2021年12月9日
2021年12月5日
2021年12月4日
2021年12月2日
碁盤の目状の道路網の最短経路は何通り？
「上図のように碁盤の目状の道路網の左下のスタート地点から右上のゴール地点へ最短で進むことができる経路は何通りあるか？」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2021年11月30日
中線と垂直二等分線の違い
図1 中線 中線とは、三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ線のことです。辺を2等分するため二等分線ではありますが、三角形の頂点を通ることも条件なので中線は三角形に関係する二等分線であると言えます。図2 垂直二等分線 垂直二等分線とは、線分を二等分し、かつその線分に対し垂直な線のことです。垂直+二等分線であるので、垂線と二等分線の両方の性質を持つ線です。中線と異なり必ずしも三角形の頂点を通る必要はないので、三角形だけでなくあらゆる図形に使うことができます。図3 二等辺三角形の中線 中線であり、かつ垂直二等分線であるのは二等辺三角形の中線です。頂角と底辺の中点を結ぶ中線は垂直二等分線となります。特に正三角形の場合は、3本すべての中線が垂直二等分線になります。関連：正三角形の中線が垂直二等分線であることの証明
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2021年11月27日
2021年11月26日
モンティ・ホール問題の全事象の確率を調べてみる
モンティ・ホール問題とは以下のようなものです。
3つのドアがあり、そのうちの1つのドアは当たり、残り2つのドアは外れとなっている。あなたはこの中から1つドアを選び、ドアを開けることで当たりを引いたかハズレを引いたが確定する。
あなたがドアを選ぶと、司会者は選ばなかったドアの中から外れのものを1つ開け、残る1つのドアに変更するかを質問する。
ドアを変更するかを決定したらあなたが選んだドアが確定し、そのドアを開ける。
このとき、ドアを変更する場合と変更しない場合ではどちらが当たりを引く確率が大きいか？
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2021年11月25日
2021年11月21日
2021年11月19日
2021年11月17日
2021年11月13日
複利運用の平均年利の算出
「複利運用でとある金融商品に200万円を投資した。3年後収益率を調べてみると33.1％であった。この金融商品の平均年率は何％であったのかを求めよ。」
どうやって年率を計算すればよいでしょうか？
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2021年11月10日
2021年10月31日
2021年10月30日
2021年10月29日
同じ半径の2円の中心が互いの円周上にあるときにできるおうぎ形の中心角は？
図1 おうぎ形の中心角
半径が同じ円が2つあります。この2円の中心が互いの円周上にあるとき、2円の交点と一方の中心を線で結んでできるおうぎ形の中心角は何度になるでしょうか...
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2021年10月27日
2021年10月24日
楽天ポイント利息の年利を計算してみる（単利と複利）
楽天ポイント利息という楽天ポイントを預けておくだけで安定してポイントが増えていくサービスがあります。月利は0.009%とありますが、年利は0.1%以上と具体的には書かれていません。なので、年利で考えたとき具体的にどのくらいになるのかを計算してみ...
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2021年10月21日
2021年10月18日
2021年10月17日
sin12°、cos12°、tan12°はどんな数？
「\sin18°,\cos18°,\tan18°はどんな数？」で18°における三角関数を調べたので、これを利用して12°\
(＝\dfrac{\pi}{15})における三角関数を調べてみます。
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2021年10月16日
sin18°、cos18°、tan18°はどんな数？
「\sin72°,\cos72°,\tan72°はどんな数？」で72°のときの三角関数について調べたので、それを利用して18°\
(＝\dfrac{\pi}{10})のときの三角関数について調べてみます。
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2021年10月15日
2021年10月10日
2021年10月9日
重心の位置ベクトルの求め方 2通り
重心の位置ベクトルは以下のようになります。
図1 重心の位置ベクトル
△\text{ABC}の重心\text{G}の位置ベクトル\vec{\text{OG}}は
\vec{\text{OG}}=\frac{\vec{\text{OA}}+\vec{\text{OB}}+\vec{\text{OC}}}{3}
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2021年10月5日
必要条件、十分条件 どっち？
命題には、必要条件と十分条件というものがあり、
「AならばB」が真であるとき、
BはAであるための必要条件
AはBであるための十分条件
と説明されます。この部分をもう少し掘り下げてみたいと思います。
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2021年10月1日
三角形の重心は中線を何：何に内分する？
「正三角形の重心が中線を2:1に内分するのはなんでだっけ……？」では正三角形だけにしか言及しませんでしたが、あらゆる三角形で重心がどんな性質を持っているかを調べてみます。
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2021年9月29日
2021年9月27日
相加平均と相乗平均 なぜa=bなのか どっちが最大値？最小値？
相加平均と相乗平均の関係は、
a>0,b>0のとき
\begin{equation}\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}\end{equation}
が成立し、等号はa=bのとき成立します。
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2021年9月26日
2021年9月25日
数の大小比較（平方根の計算・二重根号）
2\left(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}\right)\qquad\fbox{ ？ }\qquad 2
「上の\fbox{ ？ }に当てはまるものを以下の選択肢から選べ。
ア. > イ. = ウ. <
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2021年9月22日
2021年9月20日
10進数の小数を2進数の小数に変換するには
10進数の数を位ごとに分解すると、
1234=1× 10^3+2× 10^2+3× 10^1+4× 10^0
のように10の累乗の和で表すことができます。これは2進数においても同じです。
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2021年9月18日
床と2つの円に囲まれた正方形
図1 床と2つの円に囲まれた正方形
「床の上に半径が1の2つの円が接するように置かれている。この2つの円に接するように正方形が床の上に置かれているとき正方形の1辺の長さはいくつになるか？」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2021年9月16日
2021年9月15日
円に内接する四角形の対角の和はなぜ180°なのか？
円に内接する四角形の対角の和は、180°となります。上図の場合、∠\text{BAD}と∠\text{BCD}の和、∠\text{ABC}と∠\text{ADC}の和が180°になります。
なぜそうなるのかは円周角の定理を利用することでいくつかの方法で確かめることができます。
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接線と弦のつくる角（接弦定理）
円周上の点\text{A}を通る接線を引き、接線と弦\text{AC}のつくる角の内部に弧\text{AC}に対する円周角∠\text{ABC}が入らないように接線上に点\text{T}をとると
∠\text{CAT}=∠\text{ABC}
という関係が成り立ちます。この関係は接弦定理と呼ばれます。
本当に接弦定理は成り立つのでしょうか？確かめてみます。
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10進数を2進数に変換する
10進数 10進数の数として例えば(1234)_{10}について考えてみます。これをを繰り返し10で割ってみます。10で割ったあと余りを出し、商をさらに10で割ります。この計算をしやすいように割り算の筆算を逆さまにしたような書き方でおこないます。商が0になるまで割り続け、余りの数を下から並べ直すと元の1234という数が出てきます。 10で1回割ると10より小さい4が余りとして出てきます。1234=10× 123+4これを式で表すと上のようになります。10に掛けている数が商となります。商の123を10で割ると次は余りとして3が出てきます。\begin{align*}1234&=10(10×...
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2021年9月11日
2次関数の頂点と1次関数との交点でできる三角形の面積
「2次関数y=x^2-4x+1と1次関数y=-x+5の交点2点をx座標の小さい方から\text{A, B}とし、2次関数の頂点を\text{P}とする。このとき、△\text{ABP}の面積を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2021年9月10日
順列はなぜ階乗の分数になるのか？
順列の式は以下のようになります。
\begin{align*}_nP_k&=\frac{n!}{(n-k)!}\tag1\\
&\qquad(n:自然数,k:0\leqq k\leqq nの整数)\end{align*}
なぜ、順列は階乗の分数で表せるのでしょうか？
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2021年9月8日
2021年9月7日
三角形の内角で見る合同条件・相似条件
三角形の合同、あるいは相似を調べるには、角と辺の関係に着目します。この記事では、特に三角形の角に着目して、合同条件・相似条件にはどのようなものがあるかを見ていき...
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2021年9月5日
なぜsinを使って三角形の面積が求められるのか？
図1 三角形\text{ABC}
三角比を利用して図1のような三角形\text{ABC}の面積は
\begin{equation}△\text{ABC}=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot\text{AC}\sinθ\end{equation}
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2021年9月4日
直交する直線に接する2つの円とその半径
図1 直交する直線と2つの円
「直交する2本の直線を接線とする円が２つあり、円どうしは交わらず接している。小さい方の円の半径が1であるとき、大きい方の円の半径xを求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2021年9月3日
半径が同じ円が2個入った正方形の1辺の長さは？
「半径が同じ2つの円が上図のように正方形の中におさまっている。円の半径が2のとき、正方形の1辺の長さはいくつになるか？」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2021年9月2日
1つの辺の長さがわかれば面積が求められる特殊な三角形
通常、三角形の面積は
(底辺)\times(高さ)\div2
で表されるように、底辺と高さという2つの長さがわからないと求められません。
しかし、三角形の中には1辺の長さが分かれば面積が求められるものが存在します。それはどんな三角形なのか3つの例を見ていきます。
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2021年9月1日
2021年8月31日
どっちが分子でどっちが分母？
分数の分子と分母、どちらなのか迷ってしまうものがあると思います。
割り算、横書きの分数、比の値。そして三角比。それぞれどちらが分子、分母になるのかを見ていきます。
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2021年8月28日
鎖の輪のように連なる円の面積の差
図1 鎖の輪状に連なる円 「図1のように同じ半径の円が鎖の輪のように連なっている。それぞれの円の中心を線でつないでできる図形の内側にある方を白く、外側にある方を黒く円を塗り分けた。円の黒い部分の合計と白い部分の合計の面積の差はいくらになるか。1つの円の面積を1とする。」このような問題をどのように解けばよいかを考えてみ...
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三角形の角の二等分線と線分の比 本当に成立する？
「△\text{ABC}の\text{AB}=a, \text{AC}=bとして、∠\text{A}の二等分線と辺\text{BC}との交点\text{P}は、辺\text{BC}をa:bに内分する。また、\text{AB}≠\text{AC}である△\text{ABC}の∠\text{A}の外角の二等分線と辺\text{BC}の延長線との交点\text{Q}は、辺\text{BC}をa:bに外分する。」という性質があります。
本当にこれが成立するのかを証明してみます。
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2021年8月27日
直交する弦の長さから円の半径を求める
円の中心を通らない直交する2本の弦\text{AB,CD}の各部分の長さのみがわかっているとき、円の半径を求めるにはどうすればよいでしょうか?このとき、弦\text{AB,CD}の交点を\text{P}、線分\text{AP,BP,CP,DP}の長さをそれぞれa,b,c,d、上図のようにa>b,c>dであるとします。
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2021年8月26日
平方根の計算 分母の有理化
次の計算をせよ。
\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}
[類・02 明海大]
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2021年8月25日
2021年8月22日
平行四辺形の中の三角形の面積は？（1つの共通の内角をもつ平行四辺形と三角形の面積）
「平行四辺形\text{ABCD}の辺\text{CD}を\text{CE}:\text{ED}=1:3に内分するような点\text{E}、辺\text{DA}上に\text{DA}:\text{DF}=3:2となるような点\text{F}がある。このとき平行四辺形\text{ABCD}と△\text{DEF}の面積の比を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいでしょう...
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2021年8月21日
共通の内角を持つ三角形の面積を求める
「面積が10の△\text{ABC}の辺\text{AC, BC}上にそれぞれ
\text{AC}:\text{PC}=3:2, \text{BC}:\text{QC}=5:3
となるような点\text{P, Q}があるとき△\text{PQC}の面積を求めよ。」
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2021年8月20日
√(-5)^2の答えはなぜ-5じゃなくて5なのか？
\sqrt{(-5)^2}（ルート括弧マイナス5の2乗）の答えは-5ではなく5になります。ルートと2乗が打ち消し合ったら-5じゃん！と考えてしまうかもしれませんが、ちゃんと計算してみると納得し...
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整式の割り算と余りの例題
整式の割り算の問題を作ってみました。「8x^3+x^2+6x+2をP_{(x)}で割ったところ、商が8x+1、余りがax+bとなった。a+b=17であるとき、P_{(x)},a,bを求めよ。」という問題をどのように解けばよいかを考えていこうと思い...
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2021年8月18日
sin36°がどんな数になるかを求めてみよう
36°は180°の5分の1なので、「θの5倍角までの\sin,\cos,\tanを求めてみよう」で求めた5倍角の式を利用して、\sin36°\
(＝\sin\dfrac{\pi}{5})がどんな数になるのかを計算してみようと思います。
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