\[\large L=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？
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2021年12月29日
点と直線の距離はどうやって求める？
2021年12月25日
2021年12月21日
![1/([3]√2+[3]√3)](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhSa0CpLeM099rdiGiqKZOYTlIWtSl02Fjl3k6I44ssyJ49RPEJH0hnEfDgbS6PheL8vsnXMAcfBLesizVs_wrmOxeDYS-lv7B5fAN8oBVSuXYXND-6CRHv56A5yKi2ao-C6DvjTfN5hlYqySaD8iwz3toLeuD4QlkYVssGH6o03Uwjn14Nz4OgThP9=s16000-rw)
直線の方程式と定義域
ただし、$\text{(a)}$は点$\text{A, B}$を含む、$\text{(b)}$は点$\text{B}$を含まないが点$\text{C}$を含む、$\text{(c)}$は点$\text{C}$も$\text{D}$も含まないものとする。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2021年12月16日
多項式を割る式で割ったときの余りと余りを同じ割る式で割ったときの余りが等しいのはなぜ？
多項式の割り算の余りの性質として
”$f(x)$を$g(x)h(x)$で割ったときの余りを$R(x)$とすると、$f(x)$を$g(x)$で割ったときの余りは$R(x)$を$g(x)$で割ったときの余りと等しい。”
というものがあります。
これは、なぜ成立するのでしょうか？
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2021年12月12日
2021年12月10日
2021年12月9日
2021年12月5日
2021年12月4日
2021年12月2日
碁盤の目状の道路網の最短経路は何通り？
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2021年11月30日
中線と垂直二等分線の違い
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| 図1 中線 |
中線とは、三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ線のことです。
辺を2等分するため二等分線ではありますが、三角形の頂点を通ることも条件なので中線は三角形に関係する二等分線であると言えます。
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| 図2 垂直二等分線 |
垂直二等分線とは、線分を二等分し、かつその線分に対し垂直な線のことです。
垂直+二等分線であるので、垂線と二等分線の両方の性質を持つ線です。
中線と異なり必ずしも三角形の頂点を通る必要はないので、三角形だけでなくあらゆる図形に使うことができます。
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| 図3 二等辺三角形の中線 |
中線であり、かつ垂直二等分線であるのは二等辺三角形の中線です。頂角と底辺の中点を結ぶ中線は垂直二等分線となります。
特に正三角形の場合は、3本すべての中線が垂直二等分線になります。
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2021年11月27日
2021年11月26日
モンティ・ホール問題の全事象の確率を調べてみる
モンティ・ホール問題とは以下のようなものです。
3つのドアがあり、そのうちの1つのドアは当たり、残り2つのドアは外れとなっている。あなたはこの中から1つドアを選び、ドアを開けることで当たりを引いたかハズレを引いたが確定する。
あなたがドアを選ぶと、司会者は選ばなかったドアの中から外れのものを1つ開け、残る1つのドアに変更するかを質問する。
ドアを変更するかを決定したらあなたが選んだドアが確定し、そのドアを開ける。
このとき、ドアを変更する場合と変更しない場合ではどちらが当たりを引く確率が大きいか？
この問題の解答は
ドアを変更する場合の当たりを引く確率は変更しない場合の当たりを引く確率の2倍であり、ドアを変更したほうが当たりを引く確率が大きい。
となります。
この解答になることを起こり得る事象すべての確率を調べることで確かめてみます。
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2021年11月25日
2021年11月21日
2021年11月19日
2021年11月17日
2021年11月13日
複利運用の平均年利の算出
「複利運用でとある金融商品に200万円を投資した。3年後収益率を調べてみると33.1％であった。この金融商品の平均年率は何％であったのかを求めよ。」
どうやって年率を計算すればよいでしょうか？
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2021年11月10日
2021年10月31日
2021年10月30日
2021年10月29日
同じ半径の2円の中心が互いの円周上にあるときにできるおうぎ形の中心角は？
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| 図1 おうぎ形の中心角 |
半径が同じ円が2つあります。この2円の中心が互いの円周上にあるとき、2円の交点と一方の中心を線で結んでできるおうぎ形の中心角は何度になるでしょうか？
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2021年10月27日
2021年10月24日
楽天ポイント利息の年利を計算してみる（単利と複利）
楽天ポイント利息という楽天ポイントを預けておくだけで安定してポイントが増えていくサービスがあります。月利は0.009%とありますが、年利は0.1%以上と具体的には書かれていません。なので、年利で考えたとき具体的にどのくらいになるのかを計算してみます。
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2021年10月21日
2021年10月18日
2021年10月17日
sin12°、cos12°、tan12°はどんな数？
「$\sin18°,\cos18°,\tan18°$はどんな数？」で$18°$における三角関数を調べたので、これを利用して$12°\ (＝\dfrac{\pi}{15})$における三角関数を調べてみます。
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2021年10月16日
sin18°、cos18°、tan18°はどんな数？
「$\sin72°,\cos72°,\tan72°$はどんな数？」で$72°$のときの三角関数について調べたので、それを利用して$18°\ (＝\dfrac{\pi}{10})$のときの三角関数について調べてみます。
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2021年10月15日
2021年10月10日
2021年10月9日
重心の位置ベクトルの求め方 2通り
重心の位置ベクトルは以下のようになります。
$△\text{ABC}$の重心$\text{G}$の位置ベクトル$\vec{\text{OG}}$は
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| 図1 重心の位置ベクトル |
\[\vec{\text{OG}}=\frac{\vec{\text{OA}}+\vec{\text{OB}}+\vec{\text{OC}}}{3}\]
これを2通りの方法で求めてみました。
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2021年10月5日
必要条件、十分条件 どっち？
命題には、必要条件と十分条件というものがあり、
「AならばB」が真であるとき、
と説明されます。この部分をもう少し掘り下げてみたいと思います。
BはAであるための必要条件
AはBであるための十分条件
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2021年10月1日
三角形の重心は中線を何：何に内分する？
「正三角形の重心が中線を2:1に内分するのはなんでだっけ……？」では正三角形だけにしか言及しませんでしたが、あらゆる三角形で重心がどんな性質を持っているかを調べてみます。
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2021年9月29日
2021年9月27日
相加平均と相乗平均 なぜa=bなのか どっちが最大値？最小値？
$a>0,b>0$のとき
\begin{equation}\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}\end{equation}
が成立し、等号は$a=b$のとき成立します。
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2021年9月26日
2021年9月25日
数の大小比較（平方根の計算・二重根号）
\[2\left(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}\right)\qquad\fbox{ ？ }\qquad 2\]
「上の$\fbox{ ？ }$に当てはまるものを以下の選択肢から選べ。
ア. > イ. = ウ. <
」
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2021年9月22日
2021年9月20日
10進数の小数を2進数の小数に変換するには
10進数の数を位ごとに分解すると、
\[1234=1× 10^3+2× 10^2+3× 10^1+4× 10^0\]
のように$10$の累乗の和で表すことができます。これは2進数においても同じです。
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2021年9月18日
床と2つの円に囲まれた正方形
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| 図1 床と2つの円に囲まれた正方形 |
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2021年9月16日
2021年9月15日
円に内接する四角形の対角の和はなぜ180°なのか？
なぜそうなるのかは円周角の定理を利用することでいくつかの方法で確かめることができます。
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接線と弦のつくる角（接弦定理）
\[∠\text{CAT}=∠\text{ABC}\]
という関係が成り立ちます。この関係は接弦定理と呼ばれます。
本当に接弦定理は成り立つのでしょうか？確かめてみます。
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10進数を2進数に変換する
10進数
10進数の数として例えば$(1234)_{10}$について考えてみます。
これをを繰り返し10で割ってみます。
10で割ったあと余りを出し、商をさらに10で割ります。この計算をしやすいように割り算の筆算を逆さまにしたような書き方で行います。
商が0になるまで割り続け、余りの数を下から並べ直すと元の$1234$という数が出てきます。
10で1回割ると10より小さい$4$が余りとして出てきます。
\[1234=10× 123+4\]
これを式で表すと上のようになります。10に掛けている数が商となります。
商の$123$を10で割ると次は余りとして$3$が出てきます。
\begin{align*}1234&=10(10× 12+3)+4\\ &=100× 12+10× 3+4\end{align*}
$123$を$10× 12+3$とすることで商の$12$と余りの$3$に分解しています。
これを繰り返していきます。
\begin{align*}1234&=100(10× 1+2)+10× 3+4\\ &=1000× 1+100× 2+10× 3+4\end{align*}
これで、$(1234)_{10}$を位ごとに分解することができました。これが筆算で行っていることです。
位を10で表すと10の累乗となり、
\[1234=10^3× 1+10^2× 2+10^1× 3+10^0× 4\]
と書けます。このことからも10で繰り返し割ることで位の数ごとに分解することができることがわかると思います。
2進数
上で行う筆算を2進数でもやってみます。割る数は2進数なので$2$です。
余りを下から並べると$(10011010010)_2$となり、これが$(1234)_{10}$を2進数変換した数となります。
10進数のときのように2の累乗を使った式をつくると、
\begin{align*}1234&=2^{10}× 1+2^9× 0+2^8× 1+2^7× 1\\ &\quad+2^6× 1+2^5× 0+2^4× 1+2^3× 0\\ &\qquad+2^2× 0+2^1× 1+2^0× 0\\ &=2^{10}× 1+2^7× 1+2^6× 1+2^4× 1+2^1× 1\end{align*}
となるため2進数の数の一番下の桁から一の位、二($2^1$)の位、四($2^2$)の位、八($2^3$)の位……となっていることがわかります。
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2021年9月11日
2次関数の頂点と1次関数との交点でできる三角形の面積
「2次関数$y=x^2-4x+1$と1次関数$y=-x+5$の交点2点をx座標の小さい方から$\text{A, B}$とし、2次関数の頂点を$\text{P}$とする。このとき、$△\text{ABP}$の面積を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2021年9月10日
順列はなぜ階乗の分数になるのか？
順列の式は以下のようになります。
\begin{align*}_nP_k&=\frac{n!}{(n-k)!}\tag1\\
&\qquad(n:自然数,k:0\leqq k\leqq nの整数)\end{align*}
なぜ、順列は階乗の分数で表せるのでしょうか？
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2021年9月8日
2021年9月7日
三角形の内角で見る合同条件・相似条件
三角形の合同、あるいは相似を調べるには、角と辺の関係に着目します。
この記事では、特に三角形の角に着目して、合同条件・相似条件にはどのようなものがあるかを見ていきます。
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2021年9月5日
なぜsinを使って三角形の面積が求められるのか？
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| 図1 三角形\text{ABC} |
\begin{equation}△\text{ABC}=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot\text{AC}\sinθ\end{equation}
で求めることができます。
なぜこの式で三角形の面積を求めることができるのでしょうか？
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2021年9月4日
直交する直線に接する2つの円とその半径
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| 図1 直交する直線と2つの円 |
「直交する2本の直線を接線とする円が２つあり、円どうしは交わらず接している。小さい方の円の半径が1であるとき、大きい方の円の半径$x$を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2021年9月3日
半径が同じ円が2個入った正方形の1辺の長さは？
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2021年9月2日
1つの辺の長さがわかれば面積が求められる特殊な三角形
通常、三角形の面積は
\[(底辺)\times(高さ)\div2\]
で表されるように、底辺と高さという2つの長さがわからないと求められません。
しかし、三角形の中には1辺の長さが分かれば面積が求められるものが存在します。
それはどんな三角形なのか3つの例を見ていきます。
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2021年9月1日
2021年8月31日
2021年8月28日
鎖の輪のように連なる円の面積の差
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| 図1 鎖の輪状に連なる円 |
「図1のように同じ半径の円が鎖の輪のように連なっている。それぞれの円の中心を線でつないでできる図形の内側にある方を白く、外側にある方を黒く円を塗り分けた。円の黒い部分の合計と白い部分の合計の面積の差はいくらになるか。1つの円の面積を1とする。」
このような問題をどのように解けばよいかを考えてみます。
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三角形の角の二等分線と線分の比 本当に成立する？
また、$\text{AB}≠\text{AC}$である$△\text{ABC}$の$∠\text{A}$の外角の二等分線と辺$\text{BC}$の延長線との交点$\text{Q}$は、辺$\text{BC}$を$a:b$に外分する。」
という性質があります。
本当にこれが成立するのかを証明してみます。
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2021年8月27日
直交する弦の長さから円の半径を求める
このとき、弦$\text{AB,CD}$の交点を$\text{P}$、線分$\text{AP,BP,CP,DP}$の長さをそれぞれ$a,b,c,d$、上図のように$a>b,c>d$であるとします。
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2021年8月26日
平方根の計算 分母の有理化
次の計算をせよ。
\[\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}\]
[類・02 明海大]
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2021年8月25日
2021年8月22日
平行四辺形の中の三角形の面積は？（1つの共通の内角をもつ平行四辺形と三角形の面積）
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2021年8月21日
共通の内角を持つ三角形の面積を求める
\[\text{AC}:\text{PC}=3:2, \text{BC}:\text{QC}=5:3\]
となるような点$\text{P, Q}$があるとき$△\text{PQC}$の面積を求めよ。」
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2021年8月20日
√(-5)^2の答えはなぜ-5じゃなくて5なのか？
$\sqrt{(-5)^2}$（ルート括弧マイナス5の2乗）の答えは$-5$ではなく$5$になります。
ルートと2乗が打ち消し合ったら$-5$じゃん！と考えてしまうかもしれませんが、ちゃんと計算してみると納得します。
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整式の割り算と余りの例題
整式の割り算の問題を作ってみました。
「$8x^3+x^2+6x+2$を$P_{(x)}$で割ったところ、商が$8x+1$、余りが$ax+b$となった。
$a+b=17$であるとき、$P_{(x)},a,b$を求めよ。」
という問題をどのように解けばよいかを考えていこうと思います。
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2021年8月18日
sin36°がどんな数になるかを求めてみよう
$36°$は$180°$の5分の1なので、「$θ$の5倍角までの$\sin,\cos,\tan$を求めてみよう」で求めた5倍角の式を利用して、$\sin36°\ (＝\sin\dfrac{\pi}{5})$がどんな数になるのかを計算してみようと思います。
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2021年8月16日
2021年8月12日
円に内接・外接する正方形の周の長さを計算してみる
円に内接・外接する正方形の周の長さはどのくらいになるのでしょうか？計算してみました。
円周と正方形の周の長さの関係から円周率の値がどのくらい絞り込めるのかも調べてみました。
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2021年8月10日
円に内接・外接する正三角形の周の長さを計算してみる
半径$1$の円に内接・外接する正三角形の周の長さはいくらになるのかを計算してみます。
円周と正三角形の周の長さの関係から円周率の値がどのくらい絞り込めるのかも調べてみます。
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2021年8月8日
2021年8月4日
三角形の内心が角の二等分線の交点で求められるのはナゼ？
しかし作図する場合、三角形の内角の二等分線の交点によって求められます。
なぜ、3辺との距離が等しいという性質を利用せずに角の二等分線で作図するのでしょうか？
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2021年8月3日
三角形の外心が3辺の垂直二等分線の交点で求められるのはナゼ？
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しかし、作図の場合は3辺の垂直二等分線の交点として求められます。
なぜ、頂点からの距離が等しいという性質がありながら垂直二等分線で作図するのでしょうか？
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