2025 ~ 数学について考えてみる

2025年4月27日

等差数列の第n部分和の極限（等差級数）

無限等差数列のすべての項の和を等差級数（あるいは無限等差級数）といい、第

n

$n$ 部分和の

n

$n$ を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。すなわち、初項

a

$a$ 、公差

d

$d$ の等差級数は

\infty \sum n = 1 {a + (n - 1) d} = lim n \to \infty \frac{n}{2} {2 a + (n - 1) d}

$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\bigl\{2a+(n-1)d\bigr\}$ により求められます。関連：等差数列の和これが発散するか収束するかは初項

a

$a$ と公差

d

$d$ によって決まります。 ...

等比数列の第n部分和の極限（等比級数）

PLUMBAGO数列...総和.級数.部分和, 数列...等比数列

　無限等比数列のすべての項の和を等比級数（あるいは無限等比級数）といい、第

n

$n$ 部分和の

n

$n$ を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。すなわち、初項

a

$a$ 、公比

r

$r$ （ただし、

a \neq 0, r \neq 0

$a\neq0,r\neq0$ ）の等比級数は

$\sum_{n=1}^\infty{a r^{n-1}}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}&(r\neq1)\\[0.5em]\displaystyle\lim_{n\to\infty}na&(r=1)\end{array}\right.$ により求められます。 ...

第n部分和の極限（級数）

PLUMBAGO数列...総和.級数.部分和

　無限数列のすべての項の総和は、第

$n$ 部分和を利用して求めます。 ...

初項0または公比0の等比数列は存在するか？

PLUMBAGO数列...等比数列

　等比数列には、初項が

$0$ のものや公比が

$0$ のものは存在するでしょうか？ ...

等比数列の項はnが大きくなるとどうなるか？（等比数列の極限）

PLUMBAGO数列...等比数列

　等比数列の一般項は

$a_n=a r^{n-1}\quad(a:初項,r:公比,n:自然数)$ と表せます。（ただし、

$a\neq0,r\neq0$ ）

$n$ が大きくなっていくと等比数列の項はどうなるでしょうか？ ...

一般項が等差数列と等比数列の積となっている数列の第n部分和

PLUMBAGO数列, 数列...総和.級数.部分和

　一般項が等差数列の一般項と等比数列の一般項の積となっている数列の第

$n$ 部分和はどのように求めることができるでしょうか？ ...

階差数列とは？

PLUMBAGO数列

　階差数列とは、ある数列の隣り合う項の差にあらわれる数列のことです。 ...

数列の途中の項からの部分和

PLUMBAGO数列, 数列...総和.級数.部分和

「次の部分和を求めよ。 (1)初項が

$3$ 、公差が

$4$ の等差数列の第

$5$ 項から第

$10$ 項までの和 (2)初項が

$-3$ 、公比が

$2$ の等比数列の第

$3$ 項から第

$7$ 項までの和」 ...

自然数の平方数・立方数を小さい順に並べた数列の第n部分和

PLUMBAGO公式, 数列, 数列...総和.級数.部分和

　自然数の平方数を小さい順に並べた数列の初項から第

$n$ 項までの総和（第

$n$ 部分和）は

$\large\sum_{k=1}^n{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 自然数の立方数を小さい順に並べた数列の第

$n$ 部分和は

$\large\sum_{k=1}^n{k^3}=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ となります。なぜこのように表すことができるのでしょうか？ ...

1からnまでの自然数の和（自然数を小さい順に並べた数列の第n部分和）

PLUMBAGO公式, 数列...総和.級数.部分和, 数列...等差数列

$1$ から

$n$ までの自然数をすべて足し合わせると、その和

$S$ は

$\large S=\frac{n(n+1)}{2}$ となります。この式を2通りの方法で導いてみます。 ...

Σをもちいた数列の和の表し方（部分和）

PLUMBAGO数列, 数列...総和.級数.部分和

　数列のある項から別のある項までのすべての項の和のことを部分和といい、特に初項から第

$n$ 項までの和のことを第

$n$ 部分和といいます。数列

$\{a_n\}$ の第

$n$ 部分和は、例えば

$S_n$ というように文字でおくことがありますが、

$\sum$ をもちいて

$\large\sum_{k=1}^n{a_k}$ というように表すこともできます。 ...

等比数列の和

PLUMBAGO演算, 公式, 数列, 数列...総和.級数.部分和, 数列...等比数列

　初項

$a$ 、公比

$r$ の等比数列の初項から第

$n$ 項までの和は

$r=1$ のとき

$\large na$

$r\neq1$ のとき

$\large\frac{a(1-r^n)}{1-r}\ \text{or}\ \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ で求めることができます。なぜこれらの式で等比数列の和が求められるのでしょうか？ ...

等差数列の和

PLUMBAGO演算, 公式, 数列, 数列...総和.級数.部分和, 数列...等差数列

　初項

$a$ 、公差

$d$ の等差数列の初項から第

$n$ 項までの和は

$\large\frac{n}{2}\bigl\{2a+(n-1)d\bigr\}$ 初項

$a$ から末項

$l$ までの

$n$ 個の項の和は

$\large\frac{n}{2}(a +l)$ で求めることができます。なぜこれらの式で等差数列の和が求められるのでしょうか？ ...

等比数列とは？

PLUMBAGO数列, 数列...等比数列

　等比数列とは、隣接する項の比が一定である数列のことです。例えば、

$3,9,27,81,273,\cdots$ という

$3$ に

$3$ を掛けた回数が小さい順に並べた数列は等比数列の1つです。 ...

等差数列とは？

PLUMBAGO数列, 数列...等差数列

　等差数列とは、隣接する項の差が一定である数列のことです。例えば、

$0,2,4,6,8,\cdots$ という

$0$ 以上の偶数を小さい順に並べた数列は等差数列の1つです。 ...

数列とは？

PLUMBAGO数列

　数列とは、数を一列に並べたものです。例えば、

$1,2,3,4,5,\cdots$ という自然数を小さい順に並べた数列や

$2,-4,8,-16,32,\cdots$ という

$2$ に

$-2$ を掛けた回数の小さい順に並べた数列があります。 ...

$α$ と

$β$ が平行であるとは、平面

$α$ と

$β$ がどこまで延長しても交わらないことをいいます。 ...

三垂線の定理とは？

PLUMBAGO幾何...空間図形, 幾何...線...垂線, 定理

　平面

$α$ 上にない点

$\text{P}$ から平面

$α$ へ垂線をおろし、その足を

$\text{H}$ とします。点

$\text{H}$ から平面

$α$ 上の直線

$l$ へ垂線をおろし、その足を

$\text{Q}$ とします。このとき、直線

$\text{PQ}$ は直線

$l$ に垂直となります。これを三垂線の定理といいます。この定理は命題の形では \[\large \text{PH}\perp\alphaかつ \text{QH}\perp l\Rightarrow...

2つの平面が垂直であるとは？

PLUMBAGO幾何...空間図形

　2つの平面

$α$ と

$β$ が垂直であるとは、一方の平面上の交線以外の点から交線へ垂線をおろしたときにその垂線がもう一方の平面に垂直であることです。 ...

カントールの対角線論法

PLUMBAGOその他

　カントールの対角線論法は、例えば自然数集合と区間

$[0,1)$ の実数全体の集合の全要素を1対1対応させることができるかを確かめるときにもちいる証明方法のことです。 ...

関数とは？

PLUMBAGO関数

　関数とは、ある対応関係のことをいいます。 ...

反比例のグラフは双曲線か？

PLUMBAGO関数...グラフ.数直線, 幾何...線...二次曲線

　反比例

$y=\dfrac{a}{x}$ （

$a:$ 定数、

$a\neq0$ ）のグラフは双曲線なのでしょうか？

$y=\dfrac{a}{x}$ のグラフを適当に回転移動させると双曲線の方程式になることを確かめてみます。 ...

関数のグラフの回転移動

PLUMBAGO関数...グラフ.数直線, 公式

　関数

$y=f(x)$ のグラフをある点を中心に反時計回りに

$θ$ だけ回転移動させたとき、移動後のグラフの方程式はどのように表せるでしょうか？ ...

座標平面上の点の回転移動

PLUMBAGO関数...グラフ.数直線, 幾何...点, 公式

　座標平面上の点

$\text{A}$ をある点を中心に反時計回りに

$φ$ だけ回転移動させたとき、移動後の点の座標はどのように表せるでしょうか？ ...

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