正の数やその整数乗の累乗根$\sqrt[n]{a}$の大小関係は以下のようになります。
正の数$a$と自然数$n$について
\begin{align*}&\begin{cases}0<a\leqq\sqrt[n]{a}<1&(0<a<1)\\[1em]a=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[1em]1<\sqrt[n]{a}\leqq
a&(1<a)\end{cases}\\ &0<a<1,
1<aのときの等号成立条件はn=1\end{align*}
正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について
\begin{cases}\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}&(0<a<1)\\[0.5em]\sqrt[m]{a}=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[0.5em]\sqrt[m]{a}>\sqrt[n]{a}&(1<a)\end{cases}
正の数$a$と自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$について
\begin{align*}0<a<1&\
\Rightarrow&&\left\{\begin{aligned}&\begin{cases}1<\sqrt[n]{a^p}&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p>0)\end{cases}\\[0.5em]&\sqrt[n]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}\end{aligned}\right.\\[1em]a=1&\
\Rightarrow&&\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\\[1em]1<a&\
\Rightarrow&&\left\{\begin{aligned}&\begin{cases}0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]1<\sqrt[n]{a^p}&(p>0)\end{cases}\\[0.5em]&\sqrt[n]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}\end{aligned}\right.\end{align*}
正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について
\begin{align*}0<a<1&\
\Rightarrow&&\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}\\[1em]a=1&\
\Rightarrow&&\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\\[1em]1<a&\
\Rightarrow&&\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}\end{align*}
$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について
\[\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\]
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