2025 ~ 数学について考えてみる

　$△\text{ABC}$と定点$\text{P}$を考えます。
直線$\text{AP}, \text{BP}, \text{CP}$上にそれぞれ$\text{AP}:\text{DP}=\text{BP}:\text{EP}$$=\text{CP}:\text{FP}=m:n$となるように点$\text{D}, \text{E}, \text{F}$をとります。
このとき、3点$\text{D}, \text{E}, \text{F}$はそれぞれ定点$\text{P}$に関する点$\text{A}, \text{B}, \text{C}$との位置関係が一致するようにとります。（例えば、点$\text{D}$が定点$\text{P}$に関して点$\text{A}$と同じ側にあるならば点$\text{E}, \text{F}$もそれぞれ同じ比で点$\text{B}, \text{C}$と同じ側にとります。）

すると、$△\text{DEF}$は$△\text{ABC}$と相似になります。

このことを確かめてみます。

九点円とは？

PLUMBAGO幾何...円, 幾何...三角形, 定理

　九点円とは、三角形の3辺の中点、各頂点から対辺またはその延長への垂線の足、各頂点と垂心を結ぶ線分の中点の9点を通る円のことです。オイラー円やフォイエルバッハ円とも呼ばれます。

三角形にはこの円が必ず存在することを確かめてみようと思います。

三角形の3辺の長さと内接円の半径

PLUMBAGO幾何...円, 幾何...三角形, 量...長さ

　三角形の内接円の半径は3辺の長さから以下のように求めることができます。

3辺の長さが$a,b,c$の三角形の内接円の半径$r$は

\[\large r=\frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{2(a+b+c)}\]

特に、斜辺の長さが$a$で他の2辺の長さが$b,c$の直角三角形の内接円の半径$r$は

\[\large r=\frac{b+c -a}{2}\]

指数方程式の例題8問発展編

PLUMBAGO式...方程式...指数方程式

「次の指数方程式の実数解を求めよ。
(1)$\large3^x=\dfrac{9}{3^{2x}}$

(2)$\large5^{3x}=625\cdot5^x$

(3)$\large4^x-64=3\cdot\bigl(-4^x\bigr)$

(4)$\large\bigl(\sqrt[4]{2}\bigr)^x=8$

(5)$\large3^x-9^x=72$

(6)$\large\dfrac{2^x}{18}=\dfrac{2}{3^x}$

(7)$\large\dfrac{27}{25}\cdot5^x=5\cdot3^x$

(8)$\large\dfrac{9^x+25^x}{2}=15^x$」

対数方程式を解く（実数解を求める基本の方法）

PLUMBAGO関数...対数関数, 式...方程式, 手法

　対数方程式とは、真数が未知数の対数（対数関数）を含む方程式のことです。
例えば、

\[\large \log_2{x}=3\]

のような方程式のことです。

対数方程式の実数解はどのように求めるのでしょうか？

対数関数とは？

PLUMBAGO関数, 関数...対数関数

　対数関数とは、

\[\large y=\log_a{x}\qquad(a:定数,a>0\text{かつ}a\neq1)\]

という、定数$a$を底、独立変数（ここでは$x$）を真数とする対数$\log_a{x}$によって値が決まる関数のことです。

実関数としての対数関数は実数範囲における対数$\log_a{x}$をもちいるので、底$a$は$1$でない正の実数であり、真数条件より対数関数が定義できる$x$の範囲は$x>0$となります。

対数の大小関係

PLUMBAGO関数...対数関数, 式...不等式...大小関係

　対数の大小関係は以下のようになります。

$0<a<1$である正の数$a$と正の実数$M$について

\begin{cases}\log_a{M}>0&(0<M<1)\\[0.5em]\log_a{M}=0&(M=1)\\[0.5em]\log_a{M}<0&(1<M)\end{cases}

$1<a$である正の数$a$と正の実数$M$について

\begin{cases}\log_a{M}<0&(0<M<1)\\[0.5em]\log_a{M}=0&(M=1)\\[0.5em]\log_a{M}>0&(1<M)\end{cases}

正の数$a$と$M<N$である正の実数$M, N$について

\begin{cases}\log_a{M}>\log_a{N}&(0<a<1)\\[0.5em]\log_a{M}<\log_a{N}&(1<a)\end{cases}

これらが成り立つことを確かめてみます。

正の数の実数乗の値と指数の関係

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗, 式...不等式...大小関係, 論理...命題

　正の数の実数乗の値と指数の関係には以下のようなものがあります。

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}x>0&\Leftrightarrow &0<a^x<1\\[0.5em]x=0&\Leftrightarrow &a^x=1\\[0.5em]x<0&\Leftrightarrow &1<a^x\end{cases}

$1<a$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}x<0&\Leftrightarrow &0<a^x<1\\[0.5em]x=0&\Leftrightarrow &a^x=1\\[0.5em]x>0&\Leftrightarrow &1<a^x\end{cases}

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x, y$について

\[x<y\ \Leftrightarrow\ a^x>a^y\]

$1<a$である正の数$a$と実数$x, y$について

\[x<y\ \Leftrightarrow\ a^x<a^y\]

$1$でない正の数$a$と実数$x, y$について

\[x=y\ \Leftrightarrow\ a^x=a^y\]

これらが成り立つことを確かめてみます。

階乗とは？

PLUMBAGO演算

　階乗とは、$n!$（$n:$自然数）で表される計算のことで、$1$から$n$までのすべての自然数を掛け合わせることを表します。
すなわち、

\begin{equation}n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots3\times2\times1\end{equation}

という計算のことです。

分母に文字を含む方程式を解く　例題5問

PLUMBAGO式...方程式, 数...実数...分数

「次の方程式を解け。
(1)$\large\dfrac{1}{3x+1}=2$

(2)$\large\dfrac{2}{5-x}=\dfrac{3}{4}$

(3)$\large\dfrac{1}{3x^2}=\dfrac{1}{2x}$

(4)$\large\dfrac{1}{3x}=\dfrac{1}{x}$

(5)$\large\dfrac{7x}{x}=7$」

1次方程式を解く（方程式とは？、1次方程式とは？）

PLUMBAGO式...方程式, 式...方程式...1次方程式, 手法

方程式とは？

　数または数式を等号（$=$）で結んだ

\[2+3=5\]

というような式を等式といいます。
上の等式の場合、$2+3$と$5$が等しいことを意味します。

$=$で結ばれている数や数式のことを辺といい、左側にあるものを左辺、右側にあるものを右辺、左辺と右辺を合わせて両辺といいます。

　等式のうち、

\[2a=3b\]

のように文字を含むものを方程式といいます。

指数方程式の例題8問

PLUMBAGO式...方程式...指数方程式

「次の方程式の実数解を求めよ。
(1)$\large 3^x=27$

(2)$\large 5^{x-3}=\dfrac{1}{625}$

(3)$\large 2^x=\sqrt[4]{7}$

(4)$\large 7^{2x}=8$

(5)$\large (-4)^x=-\dfrac{1}{64}$

(6)$\large (-3)^{-x}=-243$

(7)$\large 4^x=8$

(8)$\large 3^{x^2+2}=\bigl(\sqrt{27}\bigr)^{3x}$」

指数方程式を解く（実数解を求める基本の方法）

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗, 式...方程式, 式...方程式...指数方程式, 手法

　指数方程式とは、指数が未知数のべき乗（指数関数）が含まれる方程式のことです。
例えば、

\[\large 2^x=8\]

のような方程式のことです。

指数方程式の実数解はどのように求めるのでしょうか？

負の数の整数乗の大小関係

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗, 式...不等式...大小関係, 数...絶対値

　負の数の整数乗には、以下のような性質があります。

正の数$a$と整数$n$について

\begin{align*}&\begin{cases}(-a)^n=-a^n<0&(n:奇数)\\[0.5em](-a)^n=a^n>0&(n:偶数)\end{cases}\\[1em]&\bigl|(-a)^n\bigr|=a^n\end{align*}

正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\begin{cases}\bigl|(-a)^m\bigr|>\bigl|(-a)^n\bigr|&(0<a<1)\\[0.5em]\bigl|(-a)^m\bigr|<\bigl|(-a)^n\bigr|&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[\bigl|(-a)^m\bigr|=\bigl|(-a)^n\bigr|=1\]

正の数$a$と$m<n$である偶数$m, n$について

\begin{cases}(-a)^m>(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m<(-a)^n&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と偶数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[(-a)^m=(-a)^n=1\]

正の数$a$と偶数$m$、奇数$n$について

\[(-a)^m>(-a)^n\]

正の数$a$と$m<n$である奇数$m, n$について

\begin{cases}(-a)^m<(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m>(-a)^n&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と奇数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[(-a)^m=(-a)^n=-1\]

これらが成り立つことを確かめます。

対数とは？（実数範囲における対数、対数の計算法則）

PLUMBAGO関数...対数関数, 公式

　対数とは、べき乗の値からみたべき乗の指数のことです。

指数関数とは？

PLUMBAGO関数, 関数...指数関数.べき乗

　指数関数とは、

\[\large y=a^x\qquad(a:定数,a>0\text{かつ}a\neq1)\]

という、定数$a$を底、独立変数（ここでは$x$）を指数とするべき乗$a^x$によって値が決まる関数のことです。

実関数としての指数関数は実数範囲のべき乗$a^x$をもちいるので、実数乗の定義より底$a$は$a>0$であり、かつ常に$a^x=1$となる$a=1$のときを除いて一般に$a\neq1$とします。

正の数の実数乗の大小関係

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗, 式...不等式...大小関係

　正の数の実数乗の大小関係は以下のようになります。

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}1<a^x&(x<0)\\[0.5em]a^x=1&(x=0)\\[0.5em]0<a^x<1&(x>0)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と実数$x$について、$x$の値にかかわらず

\[a^x=1\]

$1<a$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}0<a^x<1&(x<0)\\[0.5em]a^x=1&(x=0)\\[0.5em]1<a^x&(x>0)\end{cases}

正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について

\begin{cases}a^x>a^y&(0<a<1)\\[0.5em]a^x=a^y=1&(a=1)\\[0.5em]a^x<a^y&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と実数$x, y$について、$x, y$の大小関係にかかわらず

\[a^x=a^y=1\]

$a<b$である正の数$a, b$と実数$x$について

\begin{cases}a^x>b^x&(x<0)\\[0.5em]a^x=b^x=1&(x=0)\\[0.5em]a^x<b^x&(x>0)\end{cases}

これらが成り立つことを確かめてみます。

円に内接する台形は等脚台形？

PLUMBAGO幾何...円, 幾何...四角形...台形

「円$\text{O}$の弦$\text{AB}$に平行な弦$\text{CD}$を引く。
このときにできる四角形$\text{ABCD}$は等脚台形であることを示せ。」

べき乗とは？　④実数乗（無理数乗への拡張）

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗, 公式

　指数の範囲は無理数乗を定義することで有理数全体から実数全体に拡張することができます。

正の数の有理数乗の大小関係

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗, 式...不等式...大小関係

　正の数の有理数乗の大小関係は以下のようになります。

$0<a<1$である正の数$a$と有理数$s$について

\begin{cases}1<a^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]0<a^s<1&(s>0)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と有理数$s$について、$s$の値にかかわらず

\[a^s=1\]

$1<a$である正の数$a$と有理数$s$について

\begin{cases}0<a^s<1&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]1<a^s&(s>0)\end{cases}

正の数$a$と$s<t$である有理数$s, t$について

\begin{cases}a^s>a^t&(0<a<1)\\[0.5em]a^s<a^t&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と有理数$s, t$について、$s, t$の大小関係にかかわらず

\[a^s=a^t=1\]

$a<b$である正の数$a, b$と有理数$s$について

\begin{cases}a^s>b^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=b^s=1&(s=0)\\[0.5em]a^s<b^s&(s>0)\end{cases}

これらが成り立つことを確かめてみます。

正の数の累乗根の大小関係

PLUMBAGO式...不等式...大小関係, 数...平方根.べき根

　正の数やその整数乗の累乗根$\sqrt[n]{a}$の大小関係は以下のようになります。

正の数$a$と自然数$n$について

\begin{align*}&\begin{cases}0<a\leqq\sqrt[n]{a}<1&(0<a<1)\\[1em]a=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[1em]1<\sqrt[n]{a}\leqq a&(1<a)\end{cases}\\ &0<a<1, 1<aのときの等号成立条件はn=1\end{align*}

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について

\begin{cases}1<\sqrt[n]{a^p}&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p>0)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について、$p$の値にかかわらず

\[\sqrt[n]{a^p}=1\]

$1<a$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について

\begin{cases}0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]1<\sqrt[n]{a^p}&(p>0)\end{cases}

正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\begin{cases}\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}&(0<a<1)\\[0.5em]\sqrt[m]{a}>\sqrt[n]{a}&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[\sqrt[m]{a}=\sqrt[n]{a}=1\]

正の数$a$と自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$について

\begin{cases}\sqrt[n]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(0<a<1)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p, q$について、$p, q$の大小関係にかかわらず

\[\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について

\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について、$m, n, p, q$の値にかかわらず

\[\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\]

$1<a$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について

\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}

$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$、整数$p$について

\begin{align*}\sqrt[n]{a^p}>\sqrt[n]{b^p}&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{b^p}=1&(p=0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}<\sqrt[n]{b^p}&(p>0)\end{align*}

正の数の累乗・整数乗の大小関係

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗, 式...不等式...大小関係

　正の数の累乗・整数乗の大小関係は以下のようになります。

$0<a<1$である正の数$a$と整数$p$について

\begin{cases}1<a^p&(p<0)\\[0.5em]a^p=1&(p=0)\\[0.5em]0<a^p<1&(p>0)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と整数$p$について、$p$の値にかかわらず常に

\[\large a^p=1\]

$1<a$である正の数$a$と整数$p$について

\begin{cases}0<a^p<1&(p<0)\\[0.5em]a^p=1&(p=0)\\[0.5em]1<a^p&(p>0)\end{cases}

正の数$a$と$p<q$である整数$p,q$について

\begin{cases}a^p>a^q&(0<a<1)\\[0.5em]a^p<a^q&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と整数$p, q$について、$p, q$の大小関係にかかわらず常に

\[a^p=a^q=1\]

$a<b$である正の数$a,b$と整数$p$について

\begin{cases}a^p>b^p&(p<0)\\[0.5em]a^p=b^p=1&(p=0)\\[0.5em]a^p<b^p&(p>0)\end{cases}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

べき乗とは？　③有理数乗

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗

　「べき乗とは？　②整数乗（$0$乗、負の整数乗）」で指数の範囲を整数全体に拡張しました。
指数の範囲は、さらに有理数全体に拡張することができます。

累乗根とは？累乗根の計算法則

PLUMBAGO公式, 数...平方根.べき根

　累乗根とは、自然数$n$と任意の数$a$について、$n$乗して$a$になる数の総称です。

べき乗とは？　②整数乗（0乗、負の整数乗への拡張）

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗

　累乗は、指数が自然数のべき乗のことでした。

この指数の範囲は、整数全体に拡張することができます。

べき乗とは？　①累乗（自然数乗）

PLUMBAGO関数...指数関数.べき乗

　べき乗とは、

\[\large a^n\]

という形で書き表される計算のことです。

$a$のことを底、添え字の$n$のことを指数といいます。

本記事では、べき乗の基本である累乗がどのような計算であるのかについて解説します。

三角形の頂点の位置を求める（三角関数・測量）

PLUMBAGO関数...グラフ.数直線, 関数...三角関数.三角比, 量...長さ

「平坦な土地に上図のように三角形にブロックを敷き詰めた。
この三角形の各頂点を上図のように$\text{A,B,C}$とすると、辺$\text{AB}$の長さは$15\text{m}$、辺$\text{BC}$の長さは$6\text{m}$、辺$\text{AB}$は北方向から時計回りに$45°$の角をなし、内角$\text{ABC}$は南側に開いていて$75°$であった。
頂点$\text{A}$の位置を基準としたとき、頂点$\text{C}$は頂点$\text{A}$から北または南方向へ何$\text{m}$、東または西方向へ何$\text{m}$の位置にあるかを求めよ。」

定積分の性質 King Property

PLUMBAGO関数...微分積分...積分

　定積分の性質にKing Propertyと呼ばれるものがあります。
これは

\[\large\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(a+b-x)}dx\]

が成り立つというものです。

なぜこれが成り立つのでしょうか？

多項式の因数分解公式

PLUMBAGO公式, 式...多項式, 手法...因数分解

　本記事では、以下の因数分解公式

\begin{align*}xy+x+y+1&=(x+1)(y+1)\\[1em]xy-x-y+1&=(x-1)(y-1)\\[1em]a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca&=(a+b+c)^2\\[1em]a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align*}

が因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出せることを確かめてみます。

xの3次式の因数分解公式

PLUMBAGO公式, 式...多項式, 手法...因数分解

　$x$の3次式の因数分解公式には以下のようなものがあります。

\begin{align*}x^3+3ax^2+3a^2x+a^3&=(x+a)^3\\[1em]x^3-3ax^2+3a^2x-a^3&=(x-a)^3\\[1em]x^3+a^3&=(x+a)(x^2-ax+a^2)\\[1em]x^3-a^3&=(x-a)(x^2+ax+a^2)\end{align*}

これらは$x$の2次式の因数分解公式と同様に、因数分解の基本の共通因数の括りだしによって導き出すことができます。

xの2次式の因数分解で使う因数分解公式

PLUMBAGO公式, 式...多項式, 手法...因数分解

　$x$の2次式の因数分解で利用する因数分解公式には

\begin{align*}x^2+(a+b)x +ab&=(x+a)(x+b)\\[1em]x^2+2ax+a^2&=(x+a)^2\\[1em]x^2-2ax+a^2&=(x-a)^2\\[1em]x^2-a^2&=(x+a)(x-a)\\[1em]acx^2+(ad+bc)x +bd&=(ax+b)(cx+d)\\[1em]a^2x^2+2abx+b^2&=(ax+b)^2\\[1em]a^2x^2-2abx+b^2&=(ax-b)^2\\[1em]ax^2-b^2&=(ax+b)(ax-b)\end{align*}

があります。

これらの公式は、因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出すことができます。

x^2の係数が1以外のxの2次式の因数分解（たすき掛け）

PLUMBAGO式...多項式, 手法...因数分解

　$x^2$の係数が$1$以外の$x$の2次式

\[\large px^2+qx+r\quad(p,q,r:実数;p\neq1)\]

はどのようにして$x$の1次式同士の掛け算の形まで因数分解すればよいでしょうか？

x^2の係数が1のxの2次式の因数分解

PLUMBAGO式...多項式, 手法...因数分解

　$x^2$の係数が$1$の$x$の2次式

\[\large x^2+px+q\quad(p,q:実数)\]

はどのようにして$x$の1次式同士の掛け算の形まで因数分解すればよいのでしょうか？

多項式の因数分解とは？

PLUMBAGO公式, 式...多項式, 手法...因数分解

　多項式の因数分解とは、1つの多項式を複数の整式（単項式や多項式）の掛け算の形で表すことです。これは、1つの多項式を展開式とみて、展開前の状態に戻すことでもあります。

式の展開とは？（分配法則、乗法公式）

PLUMBAGO演算, 公式, 式...多項式

　整式（単項式または多項式）と多項式の掛け算を単項式の和、すなわち1つの多項式にすることを式を展開する、できた多項式のことを展開式といいます。

式の展開はどのように行うのでしょうか？

二項定理とは？

PLUMBAGO定理, 定理...二項定理

　二項定理とは、2項式の累乗を展開した多項式の各項の係数に関する定理のことで、$(a+b)^n$（ただし、$a\neq0$かつ$b\neq0$）という2項式の自然数$n$乗を展開したとき、

\begin{align*}\large(a+b)^n&\large={_n\text{C}_0}a^n b^0+{_n\text{C}_1}a^{n-1} b^1+{_n\text{C}_2}a^{n-2} b^2+\cdots\\ &\large\quad+{_n\text{C}_{n-2}}a^2 b^{n-2}+{_n\text{C}_{n-1}}a^1 b^{n-1}+{_n\text{C}_n}a^0 b^n\end{align*}

$\sum$をもちいれば

\[\large (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{{_n\text{C}_k}a^{n-k} b^k}\]

と表せるという定理のことです。

また、$a^{n-k}b^k$（ただし、$0\leqq k\leqq n$）の係数は${_n\text{C}_k}$であるという定理でもあり、${_n\text{C}_k}$のことを二項係数といいます。

自己交叉する多角形の辺がつくる角の大きさの和を求める

PLUMBAGO幾何...多角形, 量...角度

「上の5本の辺のうち2本が互いに交わっている図形の赤く示した角の大きさの和を求めよ。」

等差数列の第n部分和の極限（等差級数）

PLUMBAGO数列...総和.級数.部分和, 数列...等差数列

無限等差数列のすべての項の和を等差級数（あるいは無限等差級数）といい、第$n$部分和の$n$を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。
すなわち、初項$a$、公差$d$の等差級数は

\[\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\bigl\{2a+(n-1)d\bigr\}\]

により求められます。

これが発散するか収束するかは初項$a$と公差$d$によって決まります。

等比数列の第n部分和の極限（等比級数）

PLUMBAGO数列...総和.級数.部分和, 数列...等比数列

　無限等比数列のすべての項の和を等比級数（あるいは無限等比級数）といい、第$n$部分和の$n$を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。
すなわち、初項$a$、公比$r$（ただし、$a\neq0,r\neq0$）の等比級数は

\[\sum_{n=1}^\infty{a r^{n-1}}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}&(r\neq1)\\[0.5em]\displaystyle\lim_{n\to\infty}na&(r=1)\end{array}\right.\]

により求められます。

これが発散するか収束するかは公比$r$によって決まります。

第n部分和の極限（級数）

PLUMBAGO数列, 数列...総和.級数.部分和

　無限数列のすべての項の総和は、第$n$部分和をもとにして求めます。

初項0または公比0の等比数列は存在するか？

PLUMBAGO数列...等比数列

　等比数列には、初項が$0$のものや公比が$0$のものは存在するでしょうか？

等比数列の項はnが大きくなるとどうなるか？（等比数列の極限）

PLUMBAGO数列...等比数列

　等比数列の一般項は

\[a_n=a r^{n-1}\quad(a:初項,r:公比,n:自然数)\]

と表せます。（ただし、$a\neq0,r\neq0$）

$n$が大きくなっていくと等比数列の項はどうなるでしょうか？

一般項が等差数列と等比数列の積となっている数列の第n部分和

PLUMBAGO数列, 数列...総和.級数.部分和

　一般項が等差数列の一般項と等比数列の一般項の積となっている数列の第$n$部分和はどのように求めることができるでしょうか？

階差数列とは？

PLUMBAGO数列

　階差数列とは、ある数列の隣り合う項の差にあらわれる数列のことです。

数列の途中の項からの部分和

PLUMBAGO数列, 数列...総和.級数.部分和

「次の部分和を求めよ。

(1)初項が$3$、公差が$4$の等差数列の第$5$項から第$10$項までの和

(2)初項が$-3$、公比が$2$の等比数列の第$3$項から第$7$項までの和」

自然数の平方数・立方数を小さい順に並べた数列の第n部分和

PLUMBAGO公式, 数列, 数列...総和.級数.部分和

　自然数の平方数を小さい順に並べた数列の初項から第$n$項までの総和（第$n$部分和）は

\[\large\sum_{k=1}^n{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

自然数の立方数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和は

\[\large\sum_{k=1}^n{k^3}=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]

となります。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

1からnまでの自然数の和（自然数を小さい順に並べた数列の第n部分和）

PLUMBAGO公式, 数列...総和.級数.部分和, 数列...等差数列

　$1$から$n$までの自然数をすべて足し合わせると、その和$S$は

\[\large S=\frac{n(n+1)}{2}\]

となります。

この式を2通りの方法で導いてみます。

Σをもちいた数列の和の表し方（部分和）

PLUMBAGO数列, 数列...総和.級数.部分和

　数列のある項から別のある項までのすべての項の和のことを部分和といい、特に初項から第$n$項までの和のことを第$n$部分和といいます。
数列$\{a_n\}$の第$n$部分和は、例えば$S_n$というように文字でおくことがありますが、$\sum$をもちいて

\[\large\sum_{k=1}^n{a_k}\]

というように表すこともできます。

等比数列の和

PLUMBAGO公式, 数列, 数列...総和.級数.部分和, 数列...等比数列

　初項$a$、公比$r$の等比数列の初項から第$n$項までの和は
$r=1$のとき

\[\large na\]

$r\neq1$のとき

\[\large\frac{a(1-r^n)}{1-r}\ \text{or}\ \frac{a(r^n-1)}{r-1}\]

で求めることができます。

なぜこれらの式で等比数列の和が求められるのでしょうか？

等差数列の和

PLUMBAGO公式, 数列, 数列...総和.級数.部分和, 数列...等差数列

　初項$a$、公差$d$の等差数列の初項から第$n$項までの和は

\[\large\frac{n}{2}\bigl\{2a+(n-1)d\bigr\}\]

初項$a$から末項$l$までの$n$個の項の和は

\[\large\frac{n}{2}(a +l)\]

で求めることができます。

なぜこれらの式で等差数列の和が求められるのでしょうか？

等比数列とは？

PLUMBAGO数列, 数列...等比数列

　等比数列とは、隣接する項の比が一定である数列のことです。
例えば、

\[3,9,27,81,273,\cdots\]

という$3$に$3$を掛けた回数が小さい順に並べた数列は等比数列の1つです。

等差数列とは？

PLUMBAGO数列, 数列...等差数列

　等差数列とは、隣接する項の差が一定である数列のことです。
例えば、

\[0,2,4,6,8,\cdots\]

という$0$以上の偶数を小さい順に並べた数列は等差数列の1つです。

数列とは？

PLUMBAGO数列

　数列とは、数を一列に並べたものです。
例えば、

\[1,2,3,4,5,\cdots\]

という自然数を小さい順に並べた数列や

\[2,-4,8,-16,32,\cdots\]

という$2$に$-2$を掛けた回数の小さい順に並べた数列があります。

平行四辺形の成立条件

PLUMBAGO幾何...四角形, 幾何...四角形...台形...平行四辺形

　四角形が以下の5つの中のいずれか1つの性質をもつとき、その四角形は平行四辺形となります。

2組の対辺がそれぞれ平行
2組の対辺の長さがそれぞれ等しい
2組の対角の大きさがそれぞれ等しい
1組の対辺が平行かつ長さが等しい
対角線が互いの中点で交わる

これらの四角形の性質のことを平行四辺形の成立条件といいます。

上記のいずれかの性質をもつ四角形が本当に平行四辺形となるかを確かめてみます。

台形を対角線で分割したときにできる三角形の面積の性質

PLUMBAGO幾何...三角形, 幾何...四角形...台形, 量...面積

　台形を対角線で分割したときにできる三角形にはどのような性質があるでしょうか？

平行四辺形とは？

PLUMBAGO幾何...四角形, 幾何...四角形...台形...平行四辺形

　平行四辺形とは、2組の対辺がそれぞれ平行である四角形のことです。

等脚台形とは？

PLUMBAGO幾何...四角形, 幾何...四角形...台形

等脚台形（とうきゃくだいけい）とは、狭義の台形において「脚（きゃく）の長さが等しい台形」のことです。

しかし、広義の台形においては「1つの底辺の両端の内角が等しい台形」が等脚台形の定義となります。

台形とは？

PLUMBAGO幾何...四角形, 幾何...四角形...台形

　台形とは、少なくとも1組の対辺が平行である四角形のことです。（※）

逆関数とは？

PLUMBAGO関数

　関数とは、ある変数の値1つに対して別の変数のただ1つの値が対応するような規則で定められた関係のことでした。（対応元の変数を独立変数、対応先の変数を従属変数といいます。）
もし、ある関数の独立変数の値と従属変数の値が入れ替わったような対応規則によって定められた関数が存在するとき、その関数のことを逆関数といいます。

2つの平面が平行であるとは？

PLUMBAGO幾何...空間図形

2つの平面$α$と$β$が平行であるとは、平面$α$と$β$がどこまで延長しても交わらないことをいいます。

三垂線の定理とは？

PLUMBAGO幾何...空間図形, 幾何...線...垂線, 定理

　平面$α$上にない点$\text{P}$から平面$α$へ垂線をおろし、その足を$\text{H}$とします。
点$\text{H}$から平面$α$上の直線$l$へ垂線をおろし、その足を$\text{Q}$とします。

このとき、直線$\text{PQ}$は直線$l$に垂直となります。これを三垂線の定理といいます。

この定理は命題の形では

\[\large \text{PH}\perp\alphaかつ \text{QH}\perp l\Rightarrow \text{PQ}\perp l\]

のように書きます。

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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