階乗とは、$n!$（$n:$自然数）で表される計算のことで、$1$から$n$までのすべての自然数を掛け合わせることを表します。
すなわち、
すなわち、
\begin{equation}n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots3\times2\times1\end{equation}
という計算のことです。
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2025年9月13日
2025年9月9日
分母に文字を含む方程式を解く 例題5問
「次の方程式を解け。
(1)$\large\dfrac{1}{3x+1}=2$
(1)$\large\dfrac{1}{3x+1}=2$
(2)$\large\dfrac{2}{5-x}=\dfrac{3}{4}$
(3)$\large\dfrac{1}{3x^2}=\dfrac{1}{2x}$
(4)$\large\dfrac{1}{3x}=\dfrac{1}{x}$
(5)$\large\dfrac{7x}{x}=7$」
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2025年9月6日
1次方程式を解く（方程式とは？、1次方程式とは？）
方程式とは？
数または数式を等号（$=$）で結んだ
上の等式の場合、$2+3$と$5$が等しいことを意味します。
\[2+3=5\]
というようなを等式といいます。上の等式の場合、$2+3$と$5$が等しいことを意味します。
$=$で結ばれている数や数式のことを辺といい、左側にあるものを左辺、右側にあるものを右辺、左辺と右辺を合わせて両辺といいます。
等式のうち、
\[2a=3b\]
のように文字を含むものを方程式といいます。
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2025年9月5日
指数方程式の例題8問
「次の方程式の実数解を求めよ。
(1)$\large 3^x=27$
(1)$\large 3^x=27$
(2)$\large 5^{x-3}=\dfrac{1}{625}$
(3)$\large 2^x=\sqrt[4]{7}$
(4)$\large 7^{2x}=8$
(5)$\large (-4)^x=-\dfrac{1}{64}$
(6)$\large (-3)^{-x}=-243$
(7)$\large 4^x=8$
(8)$\large 3^{x^2+2}=\bigl(\sqrt{27}\bigr)^{3x}$」
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2025年9月3日
指数方程式を解く（実数解を求める）
指数方程式とは、指数部分が未知数のべき乗（指数関数）が含まれる方程式のことです。
例えば、
例えば、
\[\large 2^x=8\]
のような方程式のことです。
指数方程式の実数解はどのように求めるのでしょうか？
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2025年9月2日
負の数の整数乗の大小関係
負の数の整数乗には、以下のような性質があります。
これらが成り立つことを確かめます。
正の数$a$と整数$n$について
\begin{align*}&\begin{cases}(-a)^n=-a^n<0&(n:奇数)\\[0.5em](-a)^n=a^n>0&(n:偶数)\end{cases}\\[1em]&\bigl|(-a)^n\bigr|=a^n\end{align*}
正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について
\begin{cases}\bigl|(-a)^m\bigr|>\bigl|(-a)^n\bigr|&(0<a<1)\\[0.5em]\bigl|(-a)^m\bigr|=\bigl|(-a)^n\bigr|=1&(a=1)\\[0.5em]\bigl|(-a)^m\bigr|<\bigl|(-a)^n\bigr|&(1<a)\end{cases}
正の数$a$と$m<n$である偶数$m, n$について
\begin{cases}(-a)^m>(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m=(-a)^n=1&(a=1)\\[0.5em](-a)^m<(-a)^n&(1<a)\end{cases}
正の数$a$と偶数$m$、奇数$n$について
\[(-a)^m>(-a)^n\]
正の数$a$と$m<n$である奇数$m, n$について
\begin{cases}(-a)^m<(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m=(-a)^n=-1&(a=1)\\[0.5em](-a)^m>(-a)^n&(1<a)\end{cases}
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2025年8月28日
2025年8月22日
2025年8月18日
正の数の実数乗の大小関係
正の数の実数乗の大小関係は以下のようになります。
$0<a<1$である正の数$a$と実数$b$について
\begin{cases}1<a^b&(b<0)\\[0.5em]a^b=1&(b=0)\\[0.5em]0<a^b<1&(b>0)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と実数$b$について、$b$の値にかかわらず
\[a^b=1\]
$1<a$である正の数$a$と実数$b$について
\begin{cases}0<a^b<1&(b<0)\\[0.5em]a^b=1&(b=0)\\[0.5em]1<a^b&(b>0)\end{cases}
正の数$a$と$b<c$である実数$b, c$について
\begin{cases}a^b>a^c&(0<a<1)\\[0.5em]a^b=a^c=1&(a=1)\\[0.5em]a^b<a^c&(1<a)\end{cases}
$a<b$である正の数$a, b$と実数$k$について
\begin{cases}a^k>b^k&(k<0)\\[0.5em]a^k=b^k=1&(k=0)\\[0.5em]a^k<b^k&(k>0)\end{cases}
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2025年8月10日
円に内接する台形は等脚台形？
.png)
このときにできる四角形$\text{ABCD}$は等脚台形であることを示せ。」
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2025年8月9日
2025年8月3日
正の数の有理数乗の大小関係
正の数の有理数乗の大小関係は以下のようになります。
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$s$について
\begin{cases}1<a^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]0<a^s<1&(s>0)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と有理数$s$について、$s$の値にかかわらず
\[a^s=1\]
$1<a$である正の数$a$と有理数$s$について
\begin{cases}0<a^s<1&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]1<a^s&(s>0)\end{cases}
正の数$a$と$s<t$である有理数$s, t$について
\begin{cases}a^s>a^t&(0<a<1)\\[0.5em]a^s=a^t=1&(a=1)\\[0.5em]a^s<a^t&(1<a)\end{cases}
$a<b$である正の数$a, b$と有理数$s$について
\begin{cases}a^s>b^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=b^s=1&(s=0)\\[0.5em]a^s<b^s&(s>0)\end{cases}
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2025年7月24日
正の数の累乗根の大小関係
正の数やその整数乗の累乗根$\sqrt[n]{a}$の大小関係は以下のようになります。
正の数$a$と自然数$n$について
\begin{align*}&\begin{cases}0<a\leqq\sqrt[n]{a}<1&(0<a<1)\\[1em]a=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[1em]1<\sqrt[n]{a}\leqq
a&(1<a)\end{cases}\\ &0<a<1,
1<aのときの等号成立条件はn=1\end{align*}
$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について
\begin{cases}1<\sqrt[n]{a^p}&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p>0)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について、$p$の値にかかわらず
\[\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\]
$1<a$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について
\begin{cases}0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]1<\sqrt[n]{a^p}&(p>0)\end{cases}
正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について
\begin{cases}\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}&(0<a<1)\\[0.5em]\sqrt[m]{a}=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[0.5em]\sqrt[m]{a}>\sqrt[n]{a}&(1<a)\end{cases}
正の数$a$と自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$について
\begin{cases}\sqrt[n]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(0<a<1)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1&(a=1)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(1<a)\end{cases}
$0<a<1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について
\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について、$m, n, p,
q$の値にかかわらず
\[\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\]
$1<a$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について
\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}
$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$、整数$p$について
\begin{align*}\sqrt[n]{a^p}>\sqrt[n]{b^p}&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{b^p}=1&(p=0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}<\sqrt[n]{b^p}&(p>0)\end{align*}
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2025年7月10日
正の数の累乗・整数乗の大小関係
正の数の累乗・整数乗の大小関係は以下のようになります。
$0<a<1$である正の数$a$と整数$p$について
\begin{cases}1<a^p&(p<0)\\[0.5em]a^p=1&(p=0)\\[0.5em]0<a^p<1&(p>0)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と整数$p$について、$p$の値にかかわらず常に
\[\large a^p=1\]
$1<a$である正の数$a$と整数$p$について
\begin{cases}0<a^p<1&(p<0)\\[0.5em]a^p=1&(p=0)\\[0.5em]1<a^p&(p>0)\end{cases}
正の数$a$と$p<q$である整数$p,q$について
\begin{cases}a^p>a^q&(0<a<1)\\[0.5em]a^p=a^q=1&(a=1)\\[0.5em]a^p<a^q&(1<a)\end{cases}
$a<b$である正の数$a,b$と整数$p$について
\begin{cases}a^p>b^p&(p<0)\\[0.5em]a^p=b^p=1&(p=0)\\[0.5em]a^p<b^p&(p>0)\end{cases}
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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2025年7月3日
2025年6月27日
2025年6月23日
2025年6月17日
べき乗とは？ ①累乗（自然数乗）
べき乗とは、
\[\large a^n\]
という形で書き表される計算のことです。
$a$のことを底、添え字の$n$のことを指数といいます。
本記事では、べき乗の基本である累乗がどのような計算であるのかについて解説します。
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2025年6月13日
三角形の頂点の位置を求める（三角関数・測量）
この三角形の各頂点を上図のように$\text{A,B,C}$とすると、辺$\text{AB}$の長さは$15\text{m}$、辺$\text{BC}$の長さは$6\text{m}$、辺$\text{AB}$は北方向から時計回りに$45°$の角をなし、内角$\text{ABC}$は南側に開いていて$75°$であった。
頂点$\text{A}$の位置を基準としたとき、頂点$\text{C}$は頂点$\text{A}$から北または南方向へ何$\text{m}$、東または西方向へ何$\text{m}$の位置にあるかを求めよ。」
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2025年6月4日
定積分の性質 King Property
定積分の性質にKing Propertyと呼ばれるものがあります。
これは
これは
\[\large\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(a+b-x)}dx\]
が成り立つというものです。
なぜこれが成り立つのでしょうか？
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2025年5月30日
多項式の因数分解公式
本記事では、以下の因数分解公式
\begin{align*}xy+x+y+1&=(x+1)(y+1)\\[1em]xy-x-y+1&=(x-1)(y-1)\\[1em]a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca&=(a+b+c)^2\\[1em]a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align*}
が因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出せることを確かめてみます。
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2025年5月29日
xの3次式の因数分解公式
$x$の3次式の因数分解公式には以下のようなものがあります。
\begin{align*}x^3+3ax^2+3a^2x+a^3&=(x+a)^3\\[1em]x^3-3ax^2+3a^2x-a^3&=(x-a)^3\\[1em]x^3+a^3&=(x+a)(x^2-ax+a^2)\\[1em]x^3-a^3&=(x-a)(x^2+ax+a^2)\end{align*}
これらは$x$の2次式の因数分解公式と同様に、因数分解の基本の共通因数の括りだしによって導き出すことができます。
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2025年5月28日
xの2次式の因数分解で使う因数分解公式
$x$の2次式の因数分解で利用する因数分解公式には
\begin{align*}x^2+(a+b)x
+ab&=(x+a)(x+b)\\[1em]x^2+2ax+a^2&=(x+a)^2\\[1em]x^2-2ax+a^2&=(x-a)^2\\[1em]x^2-a^2&=(x+a)(x-a)\\[1em]acx^2+(ad+bc)x
+bd&=(ax+b)(cx+d)\\[1em]a^2x^2+2abx+b^2&=(ax+b)^2\\[1em]a^2x^2-2abx+b^2&=(ax-b)^2\\[1em]ax^2-b^2&=(ax+b)(ax-b)\end{align*}
があります。
これらの公式は、因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出すことができます。
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2025年5月26日
x^2の係数が1以外のxの2次式の因数分解（たすき掛け）
$x^2$の係数が$1$以外の$x$の2次式
\[\large px^2+qx+r\quad(p,q,r:実数;p\neq1)\]
はどのようにして$x$の1次式同士の掛け算の形まで因数分解すればよいでしょうか？
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2025年5月23日
x^2の係数が1のxの2次式の因数分解
$x^2$の係数が$1$の$x$の2次式
\[\large x^2+px+q\quad(p,q:実数)\]
はどのようにして$x$の1次式同士の掛け算の形まで因数分解すればよいのでしょうか？
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2025年5月16日
2025年5月14日
式の展開とは？（分配法則、乗法公式）
整式（単項式または多項式）と多項式の掛け算を単項式の和、すなわち1つの多項式にすることを式を展開する、できた多項式のことを展開式といいます。
式の展開はどのように行うのでしょうか？
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2025年5月4日
二項定理とは？
二項定理とは、2項式の累乗を展開した多項式の各項の係数に関する定理のことで、$(a+b)^n$（ただし、$a\neq0$かつ$b\neq0$）という2項式の自然数$n$乗を展開したとき、
\begin{align*}\large(a+b)^n&\large={_n\text{C}_0}a^n
b^0+{_n\text{C}_1}a^{n-1} b^1+{_n\text{C}_2}a^{n-2} b^2+\cdots\\
&\large\quad+{_n\text{C}_{n-2}}a^2 b^{n-2}+{_n\text{C}_{n-1}}a^1
b^{n-1}+{_n\text{C}_n}a^0 b^n\end{align*}
$\sum$をもちいれば
\[\large (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{{_n\text{C}_k}a^{n-k} b^k}\]
と表せるという定理のことです。
また、$a^{n-k}b^k$（ただし、$0\leqq k\leqq n$）の係数は${_n\text{C}_k}$であるという定理でもあり、${_n\text{C}_k}$のことを二項係数といいます。
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2025年4月29日
2025年4月27日
等差数列の第n部分和の極限（等差級数）
無限等差数列のすべての項の和を等差級数（あるいは無限等差級数）といい、第$n$部分和の$n$を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。
すなわち、初項$a$、公差$d$の等差級数は
すなわち、初項$a$、公差$d$の等差級数は
\[\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\bigl\{2a+(n-1)d\bigr\}\]
により求められます。
これが発散するか収束するかは初項$a$と公差$d$によって決まります。
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2025年4月26日
等比数列の第n部分和の極限（等比級数）
無限等比数列のすべての項の和を等比級数（あるいは無限等比級数）といい、第$n$部分和の$n$を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。
すなわち、初項$a$、公比$r$（ただし、$a\neq0,r\neq0$）の等比級数は
すなわち、初項$a$、公比$r$（ただし、$a\neq0,r\neq0$）の等比級数は
\[\sum_{n=1}^\infty{a
r^{n-1}}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}&(r\neq1)\\[0.5em]\displaystyle\lim_{n\to\infty}na&(r=1)\end{array}\right.\]
により求められます。
これが発散するか収束するかは公比$r$によって決まります。
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2025年4月23日
2025年4月22日
2025年4月21日
等比数列の項はnが大きくなるとどうなるか？（等比数列の極限）
等比数列の一般項は
\[a_n=a r^{n-1}\quad(a:初項,r:公比,n:自然数)\]
と表せます。（ただし、$a\neq0,r\neq0$）
$n$が大きくなっていくと等比数列の項はどうなるでしょうか？
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2025年4月18日
2025年4月14日
数列の途中の項からの部分和
「次の部分和を求めよ。
(1)初項が$3$、公差が$4$の等差数列の第$5$項から第$10$項までの和
(2)初項が$-3$、公比が$2$の等比数列の第$3$項から第$7$項までの和」
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2025年4月10日
自然数の平方数・立方数を小さい順に並べた数列の第n部分和
自然数の平方数を小さい順に並べた数列の初項から第$n$項までの総和（第$n$部分和）は
\[\large\sum_{k=1}^n{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
自然数の立方数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和は
\[\large\sum_{k=1}^n{k^3}=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]
となります。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？
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2025年4月6日
1からnまでの自然数の和（自然数を小さい順に並べた数列の第n部分和）
$1$から$n$までの自然数をすべて足し合わせると、その和$S$は
\[\large S=\frac{n(n+1)}{2}\]
となります。
この式を2通りの方法で導いてみます。
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2025年4月4日
Σをもちいた数列の和の表し方（部分和）
数列のある項から別のある項までのすべての項の和のことを部分和といい、特に初項から第$n$項までの和のことを第$n$部分和といいます。
数列$\{a_n\}$の第$n$部分和は、例えば$S_n$というように文字でおくことがありますが、$\sum$をもちいて
数列$\{a_n\}$の第$n$部分和は、例えば$S_n$というように文字でおくことがありますが、$\sum$をもちいて
\[\large\sum_{k=1}^n{a_k}\]
というように表すこともできます。
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2025年3月26日
2025年3月23日
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2025年3月21日
2025年3月20日
平行四辺形の成立条件
四角形が以下の5つの中のいずれか1つの性質をもつとき、その四角形は平行四辺形となります。
- 2組の対辺がそれぞれ平行
- 2組の対辺の長さがそれぞれ等しい
- 2組の対角の大きさがそれぞれ等しい
- 1組の対辺が平行かつ長さが等しい
- 対角線が互いの中点で交わる
上記のいずれかの性質をもつ四角形が本当に平行四辺形となるかを確かめてみます。
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2025年3月14日
2025年3月5日
2025年2月21日
2025年2月11日
2025年2月10日
三垂線の定理とは？
点$\text{H}$から平面$α$上の直線$l$へ垂線をおろし、その足を$\text{Q}$とします。
このとき、直線$\text{PQ}$は直線$l$に垂直となります。これを三垂線の定理といいます。
この定理は命題の形では
\[\large \text{PH}\perp\alphaかつ \text{QH}\perp l\Rightarrow \text{PQ}\perp l\]
のように書きます。
なぜこれが成り立つのでしょうか？
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2025年2月6日
2025年2月2日
2025年1月18日
反比例のグラフは双曲線か？
反比例$y=\dfrac{a}{x}$（$a:$定数、$a\neq0$）のグラフは双曲線なのでしょうか？
$y=\dfrac{a}{x}$のグラフを適当に回転移動させると双曲線の方程式になることを確かめてみます。
$y=\dfrac{a}{x}$のグラフを適当に回転移動させると双曲線の方程式になることを確かめてみます。
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