座標空間におけるベクトルの内積

　2つのベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),$$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$の内積は $$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$ となります。 座標平面上の2ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2),$$\vec{b}=(b_1,b_2)$の内積 $$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$$ と比較するとz座標同士の積の項を付け加えるだけですが、なぜこのような式になるのでしょうか？ ...

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三平方の定理（ピタゴラスの定理）

　三平方の定理は幾何学の有名な定理で直角三角形の3辺の長さの関係を表しています。 $∠\text{C}=90°$である直角三角形$\text{ABC}$の3辺の長さを$\text{BC}=a, \text{AC}=b, \text{AB}=c$とすると3辺の長さの関係は $$\large a^2+b^2=c^2$$ という式で表されます。 これを証明する方法は様々ありますが、一番簡単な方法は合同な直角三角形を4つ使って正方形を作る方法だと思います。 ...

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三角比で平行四辺形の面積を求める

　平行でない2辺の長さがそれぞれ$a,b$で、その間の内角が$θ$である平行四辺形の面積は $$\large ab\sinθ$$ で求めることができます。 なぜこの式で面積を求めることができるのでしょうか？ ...

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ピースを組み替えると面積が変わる？直角三角形

図1　直角三角形1 　上図のような4つのピースで作った直角三角形があります。これを上下の直角三角形のピースを入れ替えるように組み替えると…… ...

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1年後の今日は何曜日？

「2021年1月1日は金曜日である。次の年月日の曜日を答えよ。(1)2022年1月1日(2)2025年1月1日」このような問題はどのように解けばよいでしょ...

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平行四辺形の中の三角形の内角の大きさは？

「$\text{AB}:\text{AD}=2:1$である平行四辺形$\text{ABCD}$がある。辺$\text{CD}$の中点$\text{M}$から頂点$\text{A, B}$に線を引いたとき$∠\text{AMB}$の大きさを求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか？ ...

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帯分数で指数を含む計算をする

「次の計算をせよ。 $$2^2\frac{2}{3}+\left(1\frac{1}{2}\right)^2-2\frac{3^2}{4}$$ ただし、乗算記号の省略はない」 ...

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なぜ三角錐の体積は三角柱の体積の3分の1なのか？

　三角錐の体積はなぜ三角柱の体積の$\dfrac{1}{3}$になるのでしょうか？ ...

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長さの測れないコンパスで長さの等しい線分を作図するには

「$\text{A, B, C}$の3つの点がある。コンパスと定規で$\text{AD}=\text{BC}$となるような点$\text{D}$を作図せよ。ただし、コンパスは針が紙面から離れたとき必ず閉じなければならない。」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか？ ...

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正方行列と正則行列の違い

　似た名前の正方行列と正則行列の違いは何でしょ...

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濃度の計算 正しく計算するには

「次の食塩水の濃度を求めよ。 (1)濃度$5$%の食塩水$120$gに食塩を$14$g加えると濃度は何％となるか？ (2)濃度$10$％の食塩水$80$gに水を$40$g加えると濃度は何％となるか？ (3)濃度$4$%の食塩水$70$gに濃度$8$％の食塩水$50$gを加えると濃度は何％となるか？」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか？ ...

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割り算を割り算以外の計算式で表すと？

　割り算は最初 $$7÷3=2\ あまり1$$ や $$9÷6=1\cdots3$$ のような書き方で習いますが、「あまり」や「…」は厳密には数式にもちいられる記号ではないので1つの式で表されているのとは少し違います。では、割り算を1つの式で表すとどうなるのか？また、割り算を表す式 $$a=bn+r$$ との関連を考えてみ...

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ベクトルの内積の求め方

「始点の座標が$(2,3)$、終点の座標が$(6,6)$である$\vec{a}$と始点の座標が$(6,6)$で大きさが3の$\vec{b}$がある。 $\vec{a},\vec{b}$が上図のような位置関係であるとき内積$\vec{a}\cdot\vec{b}$を求めよ。」 ...

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3次方程式の解と係数の関係

「$x^3-5x^2+5x-1=0$の解を$\alpha,\beta,\gamma$としたとき以下の値を求めよ。 (1)$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ (2)$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$」 ...

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y=x^2とy=2^xの3つ目の共有点をニュートン法で探してみる

　$y=x^2$と$y=2^x$の共有点のx座標は $$x^2=2^x$$ という方程式を解くことで求めることができます。 ...

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負の数を掛けると不等号の向きが逆になるのはなぜ？

　不等式の変形で、両辺に負の数を掛けたり割ったりすると不等号が逆になります。 これはなぜなのでしょうか？ ...

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2次不等式が成り立つためには？

「$x^2+3x+a<0$がある実数$x$に対して成り立つときaの値の範囲を求めよ。」このような問題はどのように解けばよいでしょ...

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2次方程式の解と係数の関係

　$ax^2+bx+c=0$の解を$α,β$（ただし、$α<β$）とおきます。 このとき、2解の和、差、積、商はどのように表されるのでしょうか？ ...

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不等式と必要条件、十分条件

「次の条件が成り立つような$a,b$の範囲を求めよ。(1)$2x+a>0$であることが$x^2-10x+21\leqq0$であるための必要条件(2)$x^2-10x+21>0$であることが$|x-b|-2>0$であるための十分条件」このような問題はどのように解けばよいでしょ...

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直方体のねじれの位置にある辺

「図の直方体$\text{ABCD-EFGH}$において辺$\text{AB}$とねじれの位置にある辺を全て挙げよ。」 ...

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ベクトルの平行条件

　2つのベクトルが同じ向きであるか互いに反対向きであるとき、これらのベクトルは平行であるといいます。 $\vec{\text{A}}=(a_1,a_2),\vec{\text{B}}=(b_1,b_2)$の2つのベクトルが平行であるならば $$\begin{align*}\vec{\text{A}}&=k\vec{\text{B}}&(k:実数)\tag{a}\\[0.5em]a_1b_2-a_2b_1&=0\tag{b}\end{align*}$$ が成り立ちます。 ベクトルの実数倍はベクトルの向きは変わらないか逆向きになるので$\text{(a)}$が平行なベクトル間で成り立つことはわかりますが、なぜ平行ならば$\text{(b)}$が成り立つといえるのでしょうか？ ...

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ベクトルの内積を表す2式

　$\vec{\text{A}}=(a_1,a_2),\vec{\text{B}}=(b_1,b_2)$の2つのベクトルのなす角がθであるとき内積を表す式は $$\begin{align*}\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{B}}=|\vec{\text{A}}||\vec{\text{B}}|\cosθ\\[1em]\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{B}}=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}$$ ...

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三角形の線分の長さを求める

「$\text{AB}=10, \text{BC}=14, ∠\text{ABC}=60°$である$△\text{ABC}$がある。各頂点と$△\text{ABC}$内の点$\text{O}$を結ぶ各直線$\text{AO, BO, CO}$がそれぞれ辺$\text{BC, AC, AB}$と交わる点を$\text{P, Q, R}$をとする。点$\text{P}$は辺$\text{BC}$を$3:4$に内分し、点$\text{R}$は辺$\text{AB}$を$3:2$に内分するとき以下の線分の長さを求めよ。(1)$\text{AQ}$ (2)$\text{AO}$」 ...

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三角関数を含む不等式を解く

「$0\leqqθ\leqq2\pi$のとき、以下の不等式を解け。 (1)$\large\sinθ\geqq\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2)$\large\tanθ<\sqrt{3}$」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか？ ...

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メネラウスの定理

　メネラウスの定理とは、$△ABC$のどの頂点も通らない直線と各辺またはその延長線との交点を$P,Q,R$とすると、 $$\large\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}=1$$ が成り立つという定理です。 赤い矢印のループの任意の頂点の位置から開始し、分数の分母と分子に交互に線分の長さ、または内分・外分比を入れながら一巡すれば上の式をつくることができます。 これはなぜ成り立つのでしょうか？ ...

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チェバの定理

　チェバの定理とは、$△ABC$の各頂点から伸びる3本の直線が点$O$で交わり、各直線と通る頂点の対辺またはその延長線との交点を$P,Q,R$とするとき $$\large\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}=1$$ が成り立つという定理です。 赤い矢印のループの任意の頂点の位置から開始し、分数の分母と分子に交互に線分の長さ、または内分・外分比を入れながら一巡すれば上の式をつくることができます。 ...

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三角関数を含む方程式（三角方程式）

「次の方程式を解け。右の括弧内を$θ$の範囲とする。 (1)$\large\cosθ=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\large(0°\leqqθ<360°)$ (2)$\large\tanθ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\large(0\leqqθ<2\pi)$ (3)$\large 2\sqrt{3}\sinθ+3=0$ $\large(0\leqqθ<2\pi)$ (4)$\large 2\cos^2θ=\cosθ$ $\large(500°\leqqθ\leqq1000°)$」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか？ ...

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三角関数sinθ、cosθ、tanθの相互関係

　三角関数$\sinθ, \cosθ, \tanθ$の間にはどのような関係があるのでしょうか？ ...

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The two tangent theorem（2接線の定理）

　The two tangent theorem（2接線の定理）とは、円$\text{O}$の外にある点$\text{P}$を通る円$\text{O}$の2接線$\text{PA, PB}$（点$\text{A, B}$は円$\text{O}$の接点）の間に $$\large \text{PA}=\text{PB}$$ という関係があることを表す定理です。 　これが成立することを確かめてみます。 ...

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三角関数の読み方 ②単位円の利用

　$90°$より大きい角度のときの三角関数$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の値はどうやって求めるのでしょうか？単位円をもちいて扱える角度の範囲を拡張します。 ...

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