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2022年3月31日

座標空間におけるベクトルの内積

 2つのベクトルa=(a1,a2,a3),a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)b=(b1,b2,b3)の内積は ab=a1b1+a2b2+a3b3ab=a1b1+a2b2+a3b3 となります。 座標平面上の2ベクトルa=(a1,a2),a=(a1,a2),b=(b1,b2)b=(b1,b2)の内積 ab=a1b1+a2b2ab=a1b1+a2b2 と比較するとz座標同士の積の項を付け加えるだけですが、なぜこのような式になるのでしょうか? ...
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2022年3月30日

三平方の定理(ピタゴラスの定理)

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 三平方の定理は幾何学の有名な定理で直角三角形の3辺の長さの関係を表しています。 C=90°C=90°である直角三角形ABCABCの3辺の長さをBC=a,AC=b,AB=cBC=a,AC=b,AB=cとすると3辺の長さの関係は a2+b2=c2a2+b2=c2 という式で表されます。 これを証明する方法は様々ありますが、一番簡単な方法は合同な直角三角形を4つ使って正方形を作る方法だと思います。 ...
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2022年3月29日

三角比で平行四辺形の面積を求める

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 平行でない2辺の長さがそれぞれa,ba,bで、その間の内角がθθである平行四辺形の面積は absinθabsinθ で求めることができます。 なぜこの式で面積を求めることができるのでしょうか? ...
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2022年3月27日

ピースを組み替えると面積が変わる?直角三角形

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図1 直角三角形1  上図のような4つのピースで作った直角三角形があります。これを上下の直角三角形のピースを入れ替えるように組み替えると…… ...
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1年後の今日は何曜日?

「2021年1月1日は金曜日である。次の年月日の曜日を答えよ。(1)2022年1月1日(2)2025年1月1日」このような問題はどのように解けばよいでしょ...
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2022年3月26日

平行四辺形の中の三角形の内角の大きさは?

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AB:AD=2:1AB:AD=2:1である平行四辺形ABCDABCDがある。辺CDCDの中点MMから頂点A, BA, Bに線を引いたときAMBAMBの大きさを求めよ。」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか? ...
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帯分数で指数を含む計算をする

「次の計算をせよ。 2223+(112)223242223+(112)22324 ただし、乗算記号の省略はない」 ...
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2022年3月24日

なぜ三角錐の体積は三角柱の体積の3分の1なのか?

 三角錐の体積はなぜ三角柱の体積の1313になるのでしょうか? ...
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2022年3月20日

長さの測れないコンパスで長さの等しい線分を作図するには

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A, B, CA, B, Cの3つの点がある。コンパスと定規でAD=BCAD=BCとなるような点DDを作図せよ。ただし、コンパスは針が紙面から離れたとき必ず閉じなければならない。」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか? ...
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2022年3月19日

正方行列と正則行列の違い

 似た名前の正方行列と正則行列の違いは何でしょ...
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2022年3月18日

濃度の計算 正しく計算するには

「次の食塩水の濃度を求めよ。 (1)濃度55%の食塩水120120gに食塩を1414g加えると濃度は何%となるか? (2)濃度1010%の食塩水8080gに水を4040g加えると濃度は何%となるか? (3)濃度44%の食塩水7070gに濃度88%の食塩水5050gを加えると濃度は何%となるか?」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか? ...
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2022年3月16日

割り算を割り算以外の計算式で表すと?

 割り算は最初7÷3=2 17÷3=2 19÷6=139÷6=13のような書き方で習いますが、「あまり」や「…」は厳密には数式にもちいられる記号ではないので1つの式で表されているのとは少し違います。では、割り算を1つの式で表すとどうなるのか?また、割り算を表す式a=bn+ra=bn+rとの関連を考えてみ...
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ベクトルの内積の求め方

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「始点の座標が(2,3)(2,3)、終点の座標が(6,6)(6,6)であるaaと始点の座標が(6,6)(6,6)で大きさが3のbbがある。 a,ba,bが上図のような位置関係であるとき内積ababを求めよ。」 ...
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2022年3月15日

3次方程式の解と係数の関係

x35x2+5x1=0x35x2+5x1=0の解をα,β,γα,β,γとしたとき以下の値を求めよ。 (1)α2+β2+γ2α2+β2+γ2 (2)α3+β3+γ3α3+β3+γ3」 ...
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2022年3月14日

y=x^2とy=2^xの3つ目の共有点をニュートン法で探してみる

 y=x2y=x2y=2xy=2xの共有点のx座標は x2=2xx2=2x という方程式を解くことで求めることができます。 ...
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2022年3月12日

負の数を掛けると不等号の向きが逆になるのはなぜ?

 不等式の変形で、両辺に負の数を掛けたり割ったりすると不等号が逆になります。 これはなぜなのでしょうか? ...
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2次不等式が成り立つためには?

x2+3x+a<0x2+3x+a<0がある実数xxに対して成り立つときaの値の範囲を求めよ。」このような問題はどのように解けばよいでしょ...
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2022年3月11日

2次方程式の解と係数の関係

 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0の解をα,βα,β(ただし、α<βα<β)とおきます。 このとき、2解の和、差、積、商はどのように表されるのでしょうか? ...
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不等式と必要条件、十分条件

「次の条件が成り立つようなa,ba,bの範囲を求めよ。(1)2x+a>02x+a>0であることがx210x+210x210x+210であるための必要条件(2)x210x+21>0であることが|xb|2>0であるための十分条件」このような問題はどのように解けばよいでしょ...
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2022年3月10日

直方体のねじれの位置にある辺

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「図の直方体ABCD-EFGHにおいて辺ABとねじれの位置にある辺を全て挙げよ。」 ...
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2022年3月9日

ベクトルの平行条件

 2つのベクトルが同じ向きであるか互いに反対向きであるとき、これらのベクトルは平行であるといいます。 A=(a1,a2),B=(b1,b2)の2つのベクトルが平行であるならば A=kB(k:)a1b2a2b1=0 が成り立ちます。 ベクトルの実数倍はベクトルの向きは変わらないか逆向きになるので(a)が平行なベクトル間で成り立つことはわかりますが、なぜ平行ならば(b)が成り立つといえるのでしょうか? ...
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ベクトルの内積を表す2式

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 A=(a1,a2),B=(b1,b2)の2つのベクトルのなす角がθであるとき内積を表す式は AB=|A||B|cosθAB=a1b1+a2b2 ...
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2022年3月8日

三角形の線分の長さを求める

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AB=10,BC=14,ABC=60°であるABCがある。各頂点とABC内の点Oを結ぶ各直線AO, BO, COがそれぞれ辺BC, AC, ABと交わる点をP, Q, Rをとする。点Pは辺BC3:4に内分し、点Rは辺AB3:2に内分するとき以下の線分の長さを求めよ。(1)AQ (2)AO」 ...
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三角関数を含む不等式を解く

0θ2πのとき、以下の不等式を解け。 (1)sinθ22 (2)tanθ<3」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか? ...
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2022年3月6日

メネラウスの定理

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 メネラウスの定理とは、ABCのどの頂点も通らない直線と各辺またはその延長線との交点をP,Q,Rとすると、 RBARPCBPQACQ=1 が成り立つという定理です。 赤い矢印のループの任意の頂点の位置から開始し、分数の分母と分子に交互に線分の長さ、または内分・外分比を入れながら一巡すれば上の式をつくることができます。 これはなぜ成り立つのでしょうか? ...
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2022年3月5日

チェバの定理

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 チェバの定理とは、ABCの各頂点から伸びる3本の直線が点Oで交わり、各直線と通る頂点の対辺またはその延長線との交点をP,Q,Rとするとき RBARPCBPQACQ=1 が成り立つという定理です。 赤い矢印のループの任意の頂点の位置から開始し、分数の分母と分子に交互に線分の長さ、または内分・外分比を入れながら一巡すれば上の式をつくることができます。 ...
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三角関数を含む方程式(三角方程式)

「次の方程式を解け。右の括弧内をθの範囲とする。 (1)cosθ=22 (0°θ<360°) (2)tanθ=33 (0θ<2π) (3)23sinθ+3=0 (0θ<2π) (4)2cos2θ=cosθ (500°θ1000°)」 このような問題はどのように解けばよいでしょうか? ...
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2022年3月3日

三角関数sinθ、cosθ、tanθの相互関係

 三角関数sinθ,cosθ,tanθの間にはどのような関係があるのでしょうか? ...
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2022年3月2日

The two tangent theorem(2接線の定理)

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 The two tangent theorem(2接線の定理)とは、円Oの外にある点Pを通る円Oの2接線PA, PB(点A, Bは円Oの接点)の間に PA=PB という関係があることを表す定理です。  これが成立することを確かめてみます。 ...
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2022年3月1日

三角関数の読み方 ②単位円の利用

 90°より大きい角度のときの三角関数sinθ,cosθ,tanθの値はどうやって求めるのでしょうか?単位円をもちいて扱える角度の範囲を拡張します。 ...
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