元金均等返済方式の返済額の計算式

　元金均等返済方式とは、返済額のうち元金部分を常に一定額にして返済する方式のことです。利息部分は返済前の残高により変動します。
月利$r$で$D$円を借り、月に1回返済して$n$ヶ月で完済する場合、借り入れてから$k$ヶ月後の返済額$R_k$は

\[\large R_k=\frac{D\bigl\{1+r(n-k+1)\bigr\}}{n}\]

となります。

なぜこの式で求めることができるのでしょうか？

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元利均等返済方式の返済額の計算式

　元利均等返済方式とは、常に一定額を返済していく方式のことです。
月利$r$で$D$円を借り、月に1回返済して$n$ヶ月で完済する場合、月々の返済額$R$の計算方法は

\[\large R=\frac{Dr(1+r)^n}{(1+r)^n-1}\]

となります。

なぜ、このような式になるのでしょうか？

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共役複素数の性質

　共役複素数は実軸に関して対称な位置にある複素数のことです。なので、虚部の符号が逆転しています。
複素数$z=a+bi,w=c+di$ $(a,b,c,d:実数)$について、それぞれの共役複素数は$\bar{z}=a-bi,\bar{w}=c-di$となります。

極形式で$z,w$を表すと

\begin{align*}z&=r_1(\cos\theta+i\sin\theta)=r_1e^{i\theta}\\[0.5em]w&=r_2(\cos\phi+i\sin\phi)=r_2e^{i\phi}\\ &\left(\begin{aligned}ただし、r_1=\sqrt{a^2+b^2},&\ r_2=\sqrt{c^2+d^2}\\[0.5em]\cos\theta=\frac{a}{r_1},&\ \sin\theta=\frac{b}{r_1}\\[0.5em]\cos\phi=\frac{c}{r_2},&\ \sin\phi=\frac{d}{r_2}\end{aligned}\right)\end{align*}

となり、それぞれの共役複素数は偏角の符号が逆転した

\begin{align*}\bar{z}&=r_1\bigl\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\bigr\}=r_1e^{-i\theta}\\[0.5em]\bar{w}&=r_2\bigl\{\cos(-\phi)+i\sin(-\phi)\bigr\}=r_2e^{-i\phi}\end{align*}

となります。

これらをもちいて共役複素数の性質とそれらが成り立つことを見ていきます。

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合成ベクトルの内積

\[|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\]

となることを確かめてみます。

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2点を通る円の作図

「線分$\text{AB, AC}$がある。ここに次の条件を満たす円$\text{O}$を定規とコンパスで作図せよ。

条件1：円$\text{O}$は点$\text{C}$と線分$\text{AB}$を$2:1$に内分する点$\text{P}$を通る。
条件2：円$\text{O}$は直線$\text{AC}$を接線とする。」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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絶対値のある2次方程式の実数解の個数（グラフ不使用）

「$|x^2-3x-18|=x+k$が実数解をもつときの$k$の値の範囲を実数解の個数ごとに場合分けをして答えよ。」

　以前の記事ではグラフを利用して解きましたが、今度はグラフを利用しないで解いてみます。

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絶対値を含む2次不等式を解く

「次の不等式を解け。

(1)$\large |x^2-5x+6|>3$

(2)$\large |2x^2-5x-3|\leqq x$」

 　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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絶対値を含む1次不等式を解く(2)

「次の不等式を解け。

(1)$|x-1|>2x-1$

(2)$|x+1|\leqq-\dfrac{1}{2}x+1$」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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絶対値を含む1次不等式を解く(1)

「次の不等式を解け。

(1)$\large |x|<3$

(2)$\large |x|\geqq5$

(3)$\large |x+2|\leqq2$

(4)$\large |x-3|>1$

(5)$\large |x-5|>-2$

(6)$\large |x+1|\leqq-4$」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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2次関数の異なる2接線の交点の座標を求める

「2次関数$y=x^2+4x+7$の$x=-5$と$x=2$における接線の交点の座標を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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三平方の定理 正方形以外の図形

　三平方の定理

\[c^2=a^2+b^2\]

は、「直角三角形の斜辺の長さを1辺とする正方形の面積は他の2辺をそれぞれ1辺とする正方形の面積の和に等しい」と説明されますが、この式を変形すれば正方形以外の様々な図形に変えて考えることができます。

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ヒポクラテスの定理

　ヒポクラテスの定理とは、上図のように直角三角形$\text{ABC}$の各辺を直径とする半円を描くと、この図形の面積について

\[\text{月形BC}+\text{月形AC}=△\text{ABC}\]

が成り立つという定理です。

なぜこの関係が成り立つのでしょうか？

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星型五角形の先端の角度の和はなぜ180°なのか？

　なぜ星型五角形の先端部分の角度の和は$180°$になるのでしょうか？

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星型五角形の角度を求める

「上の角度$a,b,c$を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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対数の計算法則を利用した問題

「次の$\square$に当てはまる式を答えよ。

(1)$\large \log(MN)^p=\log{N^\square}+\log{M^pN^3}$

(2)$\large \log\frac{M}{N}=\log\frac{1}{M}-\log\square$

(3)$\large \log{M^p}=\frac{1}{p}\log{M^\square}$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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なぜ複素数は|a+bi|^2=(a+bi)^2とすることができないのか？

　実数$a,b$について
\[|a+b|^2=(a+b)^2\]
という式が成り立ちます。しかし、複素数$a+bi$の場合だと
\[|a+bi|^2=(a+bi)(a-bi)\]
となります。

なぜ、複素数の場合

\[|a+bi|^2=(a+bi)^2\]

ではないのでしょうか？

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1次方程式をグラフで考える

　例として1次方程式
\[-3x+7=x+5\]
について考えます。

これを解くと$x=\dfrac{1}{2}$となります。

1次方程式をグラフで考えたとき、この解にはどんな意味があるでしょうか？

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連立方程式をグラフで考える

　連立方程式をグラフで考えるとどうなるのでしょうか？

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連立方程式を解く

　連立方程式とは、

\[\left\{\begin{align*}7x+y&=27&\cdots\text{(i)}\\[0.5em]5x+y&=21&\cdots\text{(ii)}\end{align*}\right.\]

のように複数の方程式を関連付けて並べて書いたもので、複数の方程式を関連付けることを連立するといいます。これを解くとは連立した方程式に代入するとすべての方程式が成り立つような共通する値の組を求めることです。

すなわち連立した方程式$\text{(i),(ii)}$の$x,y$にはそれぞれ同じ値が入るものと考えています。

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関数のグラフの対称移動

　関数$y=f(x)$のグラフの対称移動は以下のようになります。

\begin{array}{l}\large\textbf{関数$y=f(x)$を}\\ \textbf{x軸に関して対称移動}&\large y=\textcolor{red}{-f(x)}\\[1em]\hline\textbf{y軸に関して対称移動}&\large y=f(\textcolor{red}{-x})\\[1em]\hline\textbf{原点に関して対称移動}&\large y=\textcolor{red}{-f(\textcolor{blue}{-x})}\\[1em]\hline\textbf{直線$x=a$に関して対称移動}&\large y=f(\textcolor{red}{2a-x})\\[1em]\hline\textbf{直線$y=b$に関して対称移動}&\large y=\textcolor{blue}{2b}\textcolor{red}{-f(x)}\\[1em]\hline\textbf{点$(a,b)$に関して対称移動}&\large y=\textcolor{green}{2b}\textcolor{red}{-f(\textcolor{blue}{2a-x})}\\ \hline\textbf{直線$y=x$に関して対称移動}&\large \textcolor{red}{x=f(y)}\end{array}

なぜこのように表すことができるのかをグラフ上の点に着目して考えます。

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極限値と極値の違いは？

　極限値と極値、よく似ている単語ですがどのような違いがあるのでしょうか？

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2次関数の頂点が最大・最小となる条件

「2次関数$y=ax^2+2a^2x-5$ $(-2\leqq x\leqq3,\ a:実数)$において以下を満たすような$a$の値の範囲を求めよ。

(1)頂点で最大となる。

(2)頂点で最小となる。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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