対数とは？（実数範囲における対数、対数の計算法則）

　対数とは、べき乗の値からみたべき乗の指数のことです。

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指数関数とは？

　指数関数とは、

\[\large y=a^x\qquad(a:定数,a>0\text{かつ}a\neq1)\]

という、定数$a$を底、独立変数（ここでは$x$）を指数とするべき乗$a^x$によって値が決まる関数のことです。

実関数としての指数関数は実数範囲のべき乗$a^x$をもちいるので、実数乗の定義より底$a$は$a>0$であり、かつ常に$a^x=1$となる$a=1$のときを除いて一般に$a\neq1$とします。

関連：べき乗とは？　④実数乗（無理数乗への拡張）

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正の数の実数乗の性質・大小関係

　正の数の実数乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の実数乗の性質1

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について

\[\large\begin{cases}1<a^x&(x<0)\\[0.5em]a^x=1&(x=0)\\[0.5em]0<a^x<1&(x>0)\end{cases}\]

$a=1$である正の数$a$と実数$x$について、$x$の値にかかわらず常に

\[\large a^x=1\]

$1<a$である正の数$a$と実数$x$について

\[\large\begin{cases}0<a^x<1&(x<0)\\[0.5em]a^x=1&(x=0)\\[0.5em]1<a^x&(x>0)\end{cases}\]

特に、正の数$a$と実数$x$について、$a, x$の値にかかわらず常に

\[\large a^x>0\]

正の数の実数乗の大小関係

・底が同じ場合

$0<a<1$である正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について

\[\large a^x>a^y\]

$a=1$である正の数$a$と実数$x, y$について、$x, y$の値にかかわらず常に

\[\large a^x=a^y=1\]

$1<a$である正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について

\[\large a^x<a^y\]

・底が異なる場合

$a<b$である正の数$a, b$と実数$x$について

\[\large\begin{cases}a^x>b^x&(x<0)\\[0.5em]a^x=b^x=1&(x=0)\\[0.5em]a^x<b^x&(x>0)\end{cases}\]

正の数$a, b$と実数$x, y$について

\[\large\begin{cases}a^x<b^y&(x\ln{a}-y\ln{b}<0)\\[0.5em]a^x=b^y&(x\ln{a}-y\ln{b}=0)\\[0.5em]a^x>b^y&(x\ln{a}-y\ln{b}>0)\end{cases}\]

正の数の実数乗の性質2

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{gather*}\large\lim_{x\to\infty}a^x=0\\[1em]\large\lim_{x\to-\infty}a^x=\infty\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と実数$x$について

\[\large\lim_{x\to\infty}a^x=\lim_{x\to-\infty}a^x=1\]

$1<a$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{gather*}\large\lim_{x\to\infty}a^x=\infty\\[1em]\large\lim_{x\to-\infty}a^x=0\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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円に内接する台形は等脚台形？

「円$\text{O}$の弦$\text{AB}$に平行な弦$\text{CD}$を引く。
このときにできる四角形$\text{ABCD}$は等脚台形であることを示せ。」

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べき乗とは？ ④実数乗（無理数乗への拡張）

　指数の範囲は、無理数乗を定義することで有理数全体から実数全体に拡張することができます。

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正の数の有理数乗の性質・大小関係

　正の数の有理数乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の有理数乗の性質1

$0<a<1$である正の数$a$と有理数$r$について

\[\large\begin{cases}1<a^r&(r<0)\\[0.5em]a^r=1&(r=0)\\[0.5em]0<a^r<1&(r>0)\end{cases}\]

$a=1$である正の数$a$と有理数$r$について、$r$の値にかかわらず常に

\[\large a^r=1\]

$1<a$である正の数$a$と有理数$r$について

\[\large\begin{cases}0<a^r<1&(r<0)\\[0.5em]a^r=1&(r=0)\\[0.5em]1<a^r&(r>0)\end{cases}\]

特に、正の数$a$と有理数$r$について、$a, r$の値にかかわらず常に

\[\large a^r>0\]

正の数の有理数乗の大小関係

$0<a<1$である正の数$a$と$r<s$である有理数$r, s$について

\[\large a^r>a^s\]

$a=1$である正の数$a$と有理数$r, s$について、$r, s$の値にかかわらず常に

\[\large a^r=a^s=1\]

$1<a$である正の数$a$と$r<s$である有理数$r, s$について

\[\large a^r<a^s\]

$a<b$である正の数$a, b$と有理数$r$について

\[\large\begin{cases}a^r>b^r&(r<0)\\[0.5em]a^r=b^r=1&(r=0)\\[0.5em]a^r<b^r&(r>0)\end{cases}\]

正の数の有理数乗の性質2

$0<a<1$である正の数$a$と有理数$r$について

\begin{gather*}\large\lim_{r\to\infty}a^r=0\\[1em]\large\lim_{r\to-\infty}a^r=\infty\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と有理数$r$について

\[\large\lim_{r\to\infty}a^r=\lim_{r\to-\infty}a^r=1\]

$1<a$である正の数$a$と有理数$r$について

\begin{gather*}\large\lim_{r\to\infty}a^r=\infty\\[1em]\large\lim_{r\to-\infty}a^r=0\end{gather*}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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正の数の累乗根の性質・大小関係

　正の数の累乗根の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の累乗根の性質1

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$について

\[\large0<\sqrt[n]{a}<1\]

$a=1$である正の数$a$と自然数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large\sqrt[n]{a}=1\]

$1<a$である正の数$a$と自然数$n$について

\[\large1<\sqrt[n]{a}\]

正の数の累乗根の大小関係

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}\]

$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$について、$m, n$の値にかかわらず常に

\[\large\sqrt[m]{a}=\sqrt[n]{a}=1\]

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large\sqrt[m]{a}>\sqrt[n]{a}\]

$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について

\[\large\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\]

正の数の累乗根の性質2

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$について

\[\large a\leqq\sqrt[n]{a}\quad(等号成立はn=1)\]

$a=1$である正の数$a$と自然数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large a=\sqrt[n]{a}=1\]

$1<a$である正の数$a$と自然数$n$について

\[\large a\geqq\sqrt[n]{a}\quad(等号成立はn=1)\]

正の数$a$と自然数$n$について

\[\large\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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べき乗とは？ ③有理数乗

　「べき乗とは？　②整数乗（$0$乗、負の整数乗）」で指数の範囲を整数全体に拡張しました。
指数の範囲は、さらに有理数全体に拡張することができます。

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