べき乗の計算法則（指数法則）

　べき乗の計算法則は、以下の通りです。

正の数$a, p, q$と任意の実数$b, c, k$について

\begin{align}a^b\times a^c&=a^{b+c}\\[1em]\frac{a^b}{a^c}&=a^{b-c}\\[1em]\left(a^b\right)^c&=a^{bc}\\[1em](pq)^k&=p^k q^k\\[1em]\left(\frac{p}{q}\right)^k&=\frac{p^k}{q^k}\end{align}

これらべき乗の計算法則は、指数法則と呼ばれます。

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おうぎ形の弧の長さや面積はなぜ角度の分数を使って求められるのか？

　おうぎ形の弧の長さや面積を求めるとき、円の円周の長さや面積に$(中心角)/360°$を掛けて求めます。
なぜこのような計算をするのでしょうか？

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仕事算の問題を解く

「同じ仕事を終わらせるのにAさんは4日、Bさんは8日、Cさんは10日かかる。
この仕事をAさんとCさんの2人で最初の2日間こなし、翌日残りをBさん1人に引き継いだ。Bさんは何日で仕事を終わらせることができるか？」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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何の2乗？何のべき乗？

　指数のついた数の計算をするとき、この指数はどの部分についているのか迷うことがあるかもしれません。

どのように見分ければよいのでしょうか？

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1階線形微分方程式の解の公式

　1階線形微分方程式$y'+P(x)y=Q(x)$の一般解は

\[y=e^{-\int P(x)dx}\left\{\int Q(x)e^{\int P(x)dx}+C\right\}\]

となりますが、なぜなのでしょうか？

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2円の交点を通る円・直線の方程式

　2円$x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0$と$x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0$の交点を通る円・直線の方程式は

\begin{align*}(x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+k(x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)&=0\\ (k=-1:直線、k\neq-1:円)\end{align*}

となります。

なぜこの方程式で表すことができるのでしょうか？

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整数は何桁？0でない数が現れるのは小数第何位？

「次の問題を解け。$\log_{10}3=0.4771$とする。

(1)$3^{30}$は何桁の整数か？

(2)$0.3^{15}$は小数第何位に$0$でない数が現れるか？」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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円の接線の方程式の公式

　円$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$の円周上の点$(p,q)$を通る接線の方程式は

\[\large(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2\]

となります。

なぜこれが円の接線の方程式となるのでしょうか？

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円の方程式を接線の方程式の公式を利用して求める

「直線$l:2x-y=10$を接線とし点$(1,2)$を中心とする円の方程式を求めよ。」

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絶対値がある2次方程式を解く

\[\Large(x-2)^2+|x-2|-6=0\]

「上の方程式を解け。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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絶対値が2つある方程式を解く

\[\Large|x+2|=|2x-5|\]
「次の方程式を解け。」

このような問題はどのようにして解けばよいでしょうか？

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f(x)とg(x)を含む恒等式 f(x)とg(x)を求める

「2次関数$f(x)$と1次関数$g(x)$について

\[\large f(x)g(x)=f(x)+2g(x)+x^3+5x^2+5x-4\]

が常に成り立つとき、$f(x),g(x)$を求めよ。
ただし、$f(x),g(x)$の係数・定数項はすべて整数である。」

　このような問題はどのように求めればよいでしょうか？

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斜辺と鋭角の1つの角度しかわからない直角三角形の面積を求めるには

　斜辺の長さが$r$、鋭角の1つの大きさが$θ$である直角三角形の面積を求めるにはどのように考えればよいでしょうか？

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円順列・数珠順列

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方程式の解が複数あるときのカンマの意味は「または」？「かつ」？どっち？

 　例えば$x^2+x-2=0$の解を$x=-2,1$のように書きますが、$-2$と$1$の間にある「,（カンマ）」には「または」と「かつ」のどちらの意味があるでしょうか？

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重複のある文字の並べ方は何通り？

「”$\text{coffee}$”の6文字を並べ替えてできる文字列はいくつあるか？」

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不等号が2つある2次不等式を解く

 \[\Large -8\leqq x^2+6x\leqq16\]

「上の不等式を解け。」

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2進数を5進数に変換する

　2進数を5進数に変換するにはどのような方法があるでしょうか？

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2進数の四則演算

　2進数で計算すると10進数と同様に正しい結果を得ることができるでしょうか？

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1次関数と三角比

「直線$y=\dfrac{1}{2}x$と$y=3x$のなす角を$θ$としたとき、$\tanθ$の値を求めよ。」

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円は何回転する？ 円の周りを転がる円

「半径の等しい円AとBを接するように配置し、円Aを時計回りに転がし円Bの周りを一周させると円Aは何回転しているように見えるか？」

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sin10°、cos10°、tan10°はどんな数？

　10は3の倍数ではないので、これまでに求めた角度における三角比を加法定理を利用して求めることはできません。
なので、3倍角を利用して求めてみます。

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