9月 2021 ~ 数学について考えてみる

2021年9月29日

指数が未知数の方程式　指数方程式

3^{x + 2} - 3^{2 x + 1} = 6

$\Large 3^{x+2}-3^{2x+1}=6$ 次の方程式を解け。 ...

相加平均と相乗平均　なぜa=bなのか　どっちが最大値？最小値？

PLUMBAGO公式, 式...不等式...大小関係

　相加平均と相乗平均の関係は、

a > 0, b > 0

$a>0,b>0$ のとき

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} ≧ \sqrt{a b} \\ (1) \end{matrix}

$\begin{equation}\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}\end{equation}$ が成立し、等号は

a = b

$a=b$ のとき成立します。 ...

数の「位」とは

PLUMBAGOその他, 数...n進数

　数を表すのに使われる数字は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類があります。それぞれの数字には決まった大きさがあり...

多項定理を使わずに二項定理で解いてみる

PLUMBAGO定理...二項定理

「

(a + 2 b + 3 c)^{5}

$(a+2b+3c)^5$ の展開式における

a^{3} b c

$a^3 bc$ の係数を求めよ。」 [03　帝塚山大] 　この問題は多項定理を使って解くのですが、二項定理で解いてみます。 ...

数の大小比較（平方根の計算・二重根号）

PLUMBAGO公式, 式...不等式...大小関係, 数...平方根.べき根

2 (\sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{5}) ？ 2

$2\left(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}\right)\qquad\fbox{　？　}\qquad 2$ 「上の

？

$\fbox{　？　}$ に当てはまるものを以下の選択肢から選べ。ア. > イ. = ウ. < ...

時計の針と角度

PLUMBAGO量...角度

　時計の目盛りは1から12までの数字が振ってある大きな目盛りは12個、大きな目盛りと大きな目盛りの間には小さな目盛りが4個あります。それぞれ1目盛り何度あるでしょうか...

2進数を16進数に変換するときなぜ4桁ごとに区切るのか？

PLUMBAGO数...n進数

　2進数を16進数に変換する時、右から4桁ごとに区切って16進数に置き換えます。なぜ4桁ごとに区切ると16進数に置き換えることができるのでしょ...

立方根の方程式

PLUMBAGO式...方程式, 数...平方根.べき根

次の方程式を解け。

\sqrt[3]{3 x + 2} - \sqrt[3]{x - 2} = \sqrt[3]{x + 2}

$\sqrt[3]{3x+2}-\sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{x+2}$ このような問題はどのように解けばよいでしょうか？ ...

10進数の小数を2進数の小数に変換するには

PLUMBAGO数...n進数, 数...小数

　10進数の数を位ごとに分解すると、

1234 = 1 \times 10^{3} + 2 \times 10^{2} + 3 \times 10^{1} + 4 \times 10^{0}

$1234=1× 10^3+2× 10^2+3× 10^1+4× 10^0$ のように

10

$10$ の累乗の和で表すことができます。これは2進数においても同じです。 ...

床と2つの円に囲まれた正方形

PLUMBAGO幾何...円, 幾何...四角形...台形...平行四辺形...正方形, 量...長さ

図1　床と2つの円に囲まれた正方形「床の上に半径が1の2つの円が接するように置かれている。この2つの円に接するように正方形が床の上に置かれているとき正方形の1辺の長さはいくつになるか？」　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？ ...

2次式の因数分解と平方完成の違い

PLUMBAGO式...多項式, 手法...因数分解, 手法...平方完成

　例として

x^{2} - 6 x y + 5 y^{2}

$x^2-6xy+5y^2$ という多項式について考えます。 ...

円に内接する四角形の対角の和はなぜ180°なのか？

PLUMBAGO幾何...円, 幾何...四角形, 定理, 量...角度

　円に内接する四角形の対角の和は、

180 °

$180°$ となります。上図の場合、

∠ BAD

$∠\text{BAD}$ と

∠ BCD

$∠\text{BCD}$ の和、

∠ ABC

$∠\text{ABC}$ と

∠ ADC

$∠\text{ADC}$ の和が

180 °

$180°$ になります。なぜそうなるのかは円周角の定理を利用することでいくつかの方法で確かめることができます。 ...

接線と弦のつくる角（接弦定理）

PLUMBAGO幾何...円, 幾何...三角形, 幾何...線...弦, 幾何...線...接線, 定理, 量...角度

　円周上の点

A

$\text{A}$ を通る接線を引き、接線と弦

AC

$\text{AC}$ のつくる角の内部に弧

AC

$\text{AC}$ に対する円周角

∠ ABC

$∠\text{ABC}$ が入らないように接線上に点

T

$\text{T}$ をとると

∠ CAT = ∠ ABC

$∠\text{CAT}=∠\text{ABC}$ という関係が成り立ちます。この関係は接弦定理と呼ばれます。本当に接弦定理は成り立つのでしょうか？確かめてみます。 ...

10進数を2進数に変換する

PLUMBAGO数...n進数

10進数　10進数の数として例えば

(1234)_{10}

$(1234)_{10}$ について考えてみます。これをを繰り返し10で割ってみます。10で割ったあと余りを出し、商をさらに10で割ります。この計算をしやすいように割り算の筆算を逆さまにしたような書き方で行います。商が0になるまで割り続け、余りの数を下から並べ直すと元の

1234

$1234$ という数が出てきます。　10で1回割ると10より小さい

4

$4$ が余りとして出てきます。

1234 = 10 \times 123 + 4

$1234=10× 123+4$ これを式で表すと上のようになります。10に掛けている数が商となります。商の

123

$123$ を10で割ると次は余りとして

3

$3$ が出てきます。\begin{align*}1234&=10(10×...

2次関数の頂点と1次関数との交点でできる三角形の面積

PLUMBAGO関数...1次関数, 関数...2次関数, 関数...グラフ.数直線, 幾何...三角形, 手法...平方完成, 量...面積

「2次関数

y = x^{2} - 4 x + 1

$y=x^2-4x+1$ と1次関数

y = - x + 5

$y=-x+5$ の交点2点をx座標の小さい方から

A, B

$\text{A, B}$ とし、2次関数の頂点を

P

$\text{P}$ とする。このとき、

△ ABP

$△\text{ABP}$ の面積を求めよ。」このような問題はどのように解けばよいでしょうか？ ...

順列はなぜ階乗の分数になるのか？

PLUMBAGO確率...場合の数, 数...分数

　順列の式は以下のようになります。

\begin{matrix} _{n} P_{k} & = \frac{n!}{(n - k)!} (n : 自 然 数, k : 0 ≦ k ≦ n の 整 数) \\ (1) \end{matrix}

$\begin{align*}_nP_k&=\frac{n!}{(n-k)!}\tag1\\ &\qquad(n:自然数,k:0\leqq k\leqq nの整数)\end{align*}$ なぜ、順列は階乗の分数で表せるのでしょうか？ ...

2次関数のグラフを描く

PLUMBAGO関数...2次関数, 関数...グラフ.数直線, 手法...平方完成

「関数

y = x^{2} + 2 x

$y=x^2+2x$ のグラフをかけ。」 [03 拓殖大] 　このような問題をどのように解けばよいでしょうか？ ...

三角形の内角で見る合同条件・相似条件

PLUMBAGO幾何...合同.相似, 幾何...三角形

　三角形の合同、あるいは相似を調べるには、角と辺の関係に着目します。この記事では、特に三角形の角に着目して、合同条件・相似条件にはどのようなものがあるかを見ていき...

なぜsinを使って三角形の面積が求められるのか？

PLUMBAGO関数...三角関数.三角比, 幾何...三角形, 量...面積

図1　三角形\text{ABC} 　三角比を利用して図1のような三角形

ABC

$\text{ABC}$ の面積は

\begin{matrix} △ ABC = \frac{1}{2} AB \cdot AC sin θ \\ (2) \end{matrix}

$\begin{equation}△\text{ABC}=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot\text{AC}\sinθ\end{equation}$ ...

aベクトル-bベクトルはなぜこの向きなのか？

PLUMBAGO線形代数...ベクトル

⃗ a - ⃗ b

$\vec{a}-\vec{b}$ は

⃗ a

$\vec{a}$ の終点から

⃗ b

$\vec{b}$ の終点を指す矢印で表されます。なぜこの向きなのでしょうか？ ...

直交する直線に接する2つの円とその半径

PLUMBAGO幾何...円, 幾何...線...接線, 定理...三平方の定理, 量...長さ

図1　直交する直線と2つの円「直交する2本の直線を接線とする円が２つあり、円どうしは交わらず接している。小さい方の円の半径が1であるとき、大きい方の円の半径

x

$x$ を求めよ。」このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？ ...

半径が同じ円が2個入った正方形の1辺の長さは？

PLUMBAGO幾何...円, 幾何...四角形...台形...平行四辺形...正方形, 定理...三平方の定理, 量...長さ

「半径が同じ2つの円が上図のように正方形の中におさまっている。円の半径が2のとき、正方形の1辺の長さはいくつになるか？」このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？ ...

1つの辺の長さがわかれば面積が求められる特殊な三角形

PLUMBAGO関数...三角関数.三角比, 幾何...三角形, 数...割合...比, 量...長さ, 量...面積

　通常、三角形の面積は

(底 辺) \times (高 さ) \div 2

$(底辺)\times(高さ)\div2$ で表されるように、底辺と高さという2つの長さがわからないと求められません。しかし、三角形の中には1辺の長さが分かれば面積が求められるものが存在します。それはどんな三角形なのか3つの例を見ていきます。 ...

入れ子状態の分数はどうやって簡単にする？

PLUMBAGO数...分数

　上のような分数は最も簡単な形にすると、どんな分数になるでしょうか？ ...

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