正の数の有理数乗の性質と大小関係は以下のようになります。
正の数の有理数乗の性質1
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$r$について
\[\large\begin{cases}1<a^r&(r<0)\\[0.5em]a^r=1&(r=0)\\[0.5em]0<a^r<1&(r>0)\end{cases}\]
$a=1$である正の数$a$と有理数$r$について、$r$の値にかかわらず常に
\[\large a^r=1\]
$1<a$である正の数$a$と有理数$r$について
\[\large\begin{cases}0<a^r<1&(r<0)\\[0.5em]a^r=1&(r=0)\\[0.5em]1<a^r&(r>0)\end{cases}\]
特に、正の数$a$と有理数$r$について、$a, r$の値にかかわらず常に
\[\large a^r>0\]
正の数の有理数乗の大小関係
$0<a<1$である正の数$a$と$r<s$である有理数$r, s$について
\[\large a^r>a^s\]
$a=1$である正の数$a$と有理数$r, s$について、$r, s$の値にかかわらず常に
\[\large a^r=a^s=1\]
$1<a$である正の数$a$と$r<s$である有理数$r, s$について
\[\large a^r<a^s\]
$a<b$である正の数$a, b$と有理数$r$について
\[\large\begin{cases}a^r>b^r&(r<0)\\[0.5em]a^r=b^r=1&(r=0)\\[0.5em]a^r<b^r&(r>0)\end{cases}\]
正の数の有理数乗の性質2
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$r$について
\begin{gather*}\large\lim_{r\to\infty}a^r=0\\[1em]\large\lim_{r\to-\infty}a^r=\infty\end{gather*}
$a=1$である正の数$a$と有理数$r$について
\[\large\lim_{r\to\infty}a^r=\lim_{r\to-\infty}a^r=1\]
$1<a$である正の数$a$と有理数$r$について
\begin{gather*}\large\lim_{r\to\infty}a^r=\infty\\[1em]\large\lim_{r\to-\infty}a^r=0\end{gather*}
これらが成り立つことを確かめてみます。
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