どの三角形においても、3つの内角の二等分線がただ1点で交わり、必ず内心が存在することを確かめてみます。
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2026年9月8日
2026年8月27日
調和級数は正の無限大に発散するか？
調和級数とは、
\[\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\]
のことです。
これが正の無限大に発散することを確かめてみます。
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2026年8月16日
眼球定理とは？
眼球定理とは、
2つの円$\text{C}_1, \text{C}_2$があり、それぞれの中心を$\text{O}_1,
\text{O}_2$とする。ただし、$\text{O}_1\text{O}_2$は$\text{C}_1,
\text{C}_2$の半径の大きいほうよりさらに大きいものとする。
というものです。
$\text{O}_1$から円$\text{C}_2$へ接線を2本引き、接点をそれぞれ$\text{P},
\text{Q}$とする。
そして、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{P}$の交点を$\text{A}$、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{Q}$の交点を$\text{B}$とする。
そして、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{P}$の交点を$\text{A}$、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{Q}$の交点を$\text{B}$とする。
同様に、$\text{O}_2$から円$\text{C}_1$へ接線を2本引き、接点をそれぞれ$\text{R},
\text{S}$とする。
そして、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{R}$の交点を$\text{C}$、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{S}$の交点を$\text{D}$とする。
そして、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{R}$の交点を$\text{C}$、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{S}$の交点を$\text{D}$とする。
このとき、
\[\large \text{AB}=\text{CD}\]
が成り立つ。
また、これの発展として、
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直線$\text{O}_1\text{O}_2$に関して同じ側にある接点を$\text{P},
\text{R}$とし、直線$\text{PR}$を引く。
というものもあります。
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直線$\text{PR}$と円$\text{C}_1$の点$\text{R}$以外の交点を$\text{R'}$、直線$\text{PR}$と円$\text{C}_2$の点$\text{P}$以外の交点を$\text{P'}$とすると
\[\large \text{RR'}=\text{PP'}\]
が成り立つ。
なぜこれらは成り立つのでしょうか？
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2026年8月5日
2026年8月1日
発散する数列と収束する数列の商の極限
無限大に発散する数列と収束する数列の積・商の極限は以下のようになります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の商の極限
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{c_n}=0\end{gather*}
ここからは、数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。
また、$N_0$を自然数とします。
$α>0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=-\infty\end{gather*}
$α<0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=\infty\end{gather*}
数列$\{a_n\}$の第$N_0
+1$項以降のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=-\infty\end{gather*}
数列$\{a_n\}$の第$N_0
+1$項以降のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=\infty\end{gather*}
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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発散する数列と収束する数列の積の極限
無限大に発散する数列と収束する数列の積の極限は以下のようになります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の積の極限
数列$\{a_n\}$について$α>0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n
b_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a_n c_n=-\infty\end{gather*}
数列$\{a_n\}$について$α<0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n
b_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a_n c_n=\infty\end{gather*}
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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2026年7月30日
発散する数列と収束する数列の和・差の極限
無限大に発散する数列と収束する数列の和・差の極限は以下のようになります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の和の極限
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n
+b_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n
+c_n\bigr)=-\infty\end{gather*}
数列の差の極限
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(b_n
-a_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(c_n
-a_n\bigr)=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n
-b_n\bigr)=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n
-c_n\bigr)=\infty\end{gather*}
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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2026年7月28日
数列の大小関係を利用した極限の判定（はさみうちの原理、無限大に発散の判定）
数列の大小関係を利用することで、極限のわからない数列の極限を判定する方法があります。
それは$N_0$を自然数として、次のようなものになります。
それは$N_0$を自然数として、次のようなものになります。
はさみうちの原理
数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$の第$N_0
+1$項以降のすべての項について$a_n≦b_n≦c_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=α$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=α$が成り立つ。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=α$が成り立つ。
正の無限大に発散を下から判定
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$の第$N_0
+1$項以降のすべての項について$a_n≦b_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$が成り立つ。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$が成り立つ。
負の無限大に発散を上から判定
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$の第$N_0
+1$項以降のすべての項について$a_n≧b_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty$が成り立つ。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty$が成り立つ。
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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2026年7月27日
発散する数列の極限の性質②（四則演算）
無限大に発散する数列の極限には、以下のような性質があります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}, \{d_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}d_n=-\infty\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の和の極限
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n
+b_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(c_n
+d_n\bigr)=-\infty\end{gather*}
数列の差の極限
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n
-c_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(d_n
-b_n\bigr)=-\infty\end{gather*}
数列の積の極限
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n
b_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}b_n
c_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c_n d_n=\infty\end{gather*}
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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2026年7月26日
発散する数列の極限の性質①（定数倍、逆数）
無限大に発散する数列の極限には、以下のような性質があります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の定数倍の極限
$c$が正の定数のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c
a_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=-\infty\end{gather*}
$c=0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c
a_n=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=0\end{gather*}
$c$が負の定数のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c
a_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=\infty\end{gather*}
数列の逆数の極限
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項についてそれぞれ$a_n,
b_n≠0$であるとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=0\end{gather*}
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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2026年7月25日
収束する数列の極限の性質③（四則演算）
収束する数列の極限には、以下のような性質があります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の和の極限
\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\alpha +\beta\]
数列の差の極限
\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=\alpha -\beta\]
数列の積の極限
\[\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\alpha\beta\]
数列の商の極限
ここでは、数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。
また、$N_0$を自然数とします。
$β≠0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]
数列$\{a_n\}$について$α>0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0
+1$項以降のすべての項について$b_n>0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\]
数列$\{a_n\}$について$α<0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0
+1$項以降のすべての項について$b_n>0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty\]
数列$\{a_n\}$について$α>0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0
+1$項以降のすべての項について$b_n<0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty\]
数列$\{a_n\}$について$α<0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0
+1$項以降のすべての項について$b_n<0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\]
なぜこれらは成り立つのでしょうか？
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2026年7月24日
収束する数列の極限の性質②（定数倍、逆数）
収束する数列の極限には、以下のような性質があります。
数列$\{a_n\}$について
\[\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\]
が成り立つとします。
数列の定数倍の極限
$k$を任意の実数とすると
\[\large \lim_{n\to\infty}k a_n=k\alpha\]
数列の逆数の極限
ここでは、数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。
また、$N_0$を自然数とします。
$α≠0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]
第$N_0
+1$項以降のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty\]
第$N_0
+1$項以降のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=-\infty\]
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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2026年7月23日
数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件③（εやKの範囲を制限かつεやKを正の定数倍）
数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件①」と「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件②」を組み合わせた同値な条件があります。
正の定数$c, ε_0,
K_0$と負の定数$L_0$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。
収束の定義と同値な条件
$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。
正の無限大に発散の定義と同値な条件
$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。
負の無限大に発散の定義と同値な条件
$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。
なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？
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2026年7月22日
収束する数列の極限の性質①（一意性、大小関係）
収束する数列の極限には、以下のような性質があります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}
が成り立つとします。
極限の一意性
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n=b_n$が成り立つならば
\[\large\alpha=\beta\]
極限の大小関係
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n≦b_n$が成り立つならば
\[\large\alpha\leqq\beta\]
なぜこれらは成り立つのでしょうか？
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2026年7月19日
2026年7月18日
数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②（εやKの正の定数倍）
数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①」で紹介したものとは別の同値な条件もあります。
正の定数$c$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。
収束の定義と同値な条件
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。
正の無限大に発散の定義と同値な条件
任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。
負の無限大に発散の定義と同値な条件
任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。
なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？
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2026年7月15日
実数における三角不等式
三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、実数$x,
y$における三角不等式は
\[\large \bigl||x|-|y|\bigr|\leqq |x+y|\leqq |x|+|y|\]
となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）
なぜこれが成り立つのでしょうか？
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2026年7月14日
幾何ベクトルにおける三角不等式
三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、ベクトル$\vec{x},
\vec{y}$における三角不等式は
\[\large \bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\leqq
|\vec{x}|+|\vec{y}|\]
となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）
なぜこれが成り立つのでしょうか？
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2026年7月12日
数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①（εやKの範囲を制限）
数列の極限の収束、無限大に発散の定義にはそれぞれ同値な条件があります。
正の定数$ε_0,
K_0$と負の定数$L_0$をとると、同値な条件は以下のようなものです。
収束の定義と同値な条件
$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<ε$が成り立つ。
この条件は、収束の定義と比較して、$ε$の範囲をより$0$に近い部分に制限しています。
正の無限大に発散の定義と同値な条件
$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>K$が成り立つ。
この条件は、正の無限大に発散の定義と比較して、$K$の範囲をより絶対値の大きい部分に制限しています。
負の無限大に発散の定義と同値な条件
$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<L$が成り立つ。
この条件は、負の無限大に発散の定義と比較して、$L$の範囲をより絶対値の大きい部分に制限しています。
なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？
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