直角三角形の合同・合同条件

　2つの直角三角形が合同であるかを示すとき、三角形の合同条件

• 3組の辺がそれぞれ等しい
• 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
• 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

だけではなく、直角三角形でのみ利用できる直角三角形の合同条件というものがあります。
それは、

• 斜辺と他の1組の辺がそれぞれ等しい
• 斜辺と1組の鋭角がそれぞれ等しい

です。

なぜこのような条件となっているのでしょうか？

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三角形の合同・合同条件

　三角形の合同条件とは、

• 3組の辺がそれぞれ等しい
• 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
• 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

です。

なぜこのような条件となっているのでしょうか？

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0.999…と1は等しい？

　小数点以下に$9$が無限に続く$0.999\cdots$（循環小数の記法では$0.\dot{9}$）と$1$が等しいのは本当でしょうか？

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アポロニウスの円の定理とは？

　アポロニウスの円の定理とは、

2つの定点$\text{A}, \text{B}$からの距離の比が$m:n$（ただし、$m\neq n$）となる点$\text{P}$をとると、点$\text{P}$は線分$\text{AB}$の内分点と外分点を直径の両端とする円周上にある

という定理のことです。

線分$\text{AB}$の内分点と外分点を直径の両端とする円のことをアポロニウスの円といいます。

ちなみに、単にアポロニウスの定理という場合もありますが、これは中線定理の別名としてのアポロニウスの定理と重複するので注意が必要です。

関連：中線定理　なぜ成り立つ？

これが成り立つことを確かめてみます。

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三角形の内角・外角の二等分線と線分の比の性質の逆

　三角形の内角・外角の二等分線と線分の比とは以下のようなものです。

$△\text{ABC}$の内角$∠\text{A}$の二等分線と辺$\text{BC}$との交点を$\text{D}$、$∠\text{A}$の外角$∠\text{CAP}$の二等分線と辺$\text{BC}$の延長との交点を$\text{E}$とすると

\[\text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{CD}=\text{BE}:\text{CE}\]

関連：三角形の内角・外角の二等分線と線分の比の性質

これの性質の逆として以下が成り立ちます。

$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$を$\text{AB}:\text{AC}$に内分する点を$\text{D}$、外分する点を$\text{E}$とすると、直線$\text{AD}, \text{AE}$はそれぞれ内角$∠\text{A}$とその外角の二等分線となる。

これが成り立つことを確かめてみます。

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九点円の中心はどこにある？

　九点円の中心は三角形の垂心と外心を結ぶ線分の中点にあります。
このことを確かめてみます。

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定点と相似

　$△\text{ABC}$と定点$\text{P}$を考えます。
直線$\text{AP}, \text{BP}, \text{CP}$上にそれぞれ$\text{AP}:\text{DP}=\text{BP}:\text{EP}$$=\text{CP}:\text{FP}=m:n$となるように点$\text{D}, \text{E}, \text{F}$をとります。
このとき、3点$\text{D}, \text{E}, \text{F}$はそれぞれ定点$\text{P}$に関する点$\text{A}, \text{B}, \text{C}$との位置関係が一致するようにとります。（例えば、点$\text{D}$が定点$\text{P}$に関して点$\text{A}$と同じ側にあるならば点$\text{E}, \text{F}$もそれぞれ同じ比で点$\text{B}, \text{C}$と同じ側にとります。）

すると、$△\text{DEF}$は$△\text{ABC}$と相似になります。

このことを確かめてみます。

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九点円とは？

　九点円とは、三角形の3辺の中点、各頂点から対辺またはその延長への垂線の足、各頂点と垂心を結ぶ線分の中点の9点を通る円のことです。オイラー円やフォイエルバッハ円とも呼ばれます。

関連：三角形の五心　④三角形の垂心とは？

三角形にはこの円が必ず存在することを確かめてみようと思います。

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