小数点以下に$9$が無限に続く$0.999\cdots$（循環小数の記法では$0.\dot{9}$）と$1$が等しいのは本当でしょうか？
小数点第2位までで表せる数のうち$1$未満で最大の数は$0.99$です。
小数点第3位までで表せる数のうち$1$未満で最大の数は$0.999$です。
これを繰り返していくと最終的に「小数点以下の桁すべてを使って表せる数（実数）のうち$1$未満で最大の数は$0.999\cdots$（$0.\dot{9}$）」となると考えられます。
すなわち、この論法から得られる主張というのは
すなわち、この論法から得られる主張というのは
$0.999\cdots$は$1$未満で$1$に最も近い数である
ということで、これが$0.999\cdots$と$1$が等しいと思えない根拠であると思います。
しかし、実はこの主張は間違っていて、実数において「ある数に最も近い数」というのは存在しないのです。
このことを確かめてみます。
このことを確かめてみます。
事前準備
「$1$未満で$1$に最も近い数は$0.999\cdots$である」が間違った主張であることを確かめるために、まずは以下の主張が正しいことを確かめます。
2つの異なる実数$a,
b$の間には必ずこれらの平均となる実数$\dfrac{a+b}{2}$が存在する
これを確かめるために以下の実数の性質をもちいます。
- どの2つの実数を足しても和となる実数が必ず存在する
- どの実数を$2$で割っても商となる実数が必ず存在する
- 2つの実数の大小関係はそれぞれに同じ実数を足したり$2$で割ったりしても変わらない
2つの異なる実数$a, b$について、
\[a<b\]
という大小関係があるとします。
両辺に$a$を加えると実数の性質1.、3.より
$(1)$より、少なくとも$a$より大きい実数として$a$と$b$の平均$\dfrac{a+b}{2}$が存在することがわかります。
\begin{align*}a +a&<b +a\\[0.5em]2a&<a+b\end{align*}
が成り立ち、さらに両辺を$2$で割ると実数の性質2.、3.より
\begin{align*}\frac{2a}{2}&<\frac{a+b}{2}\\[0.5em]a&<\frac{a+b}{2}\tag1\end{align*}
が成り立ちます。$(1)$より、少なくとも$a$より大きい実数として$a$と$b$の平均$\dfrac{a+b}{2}$が存在することがわかります。
次に、$a<b$の両辺に$b$を加えると実数の性質1.、3.より
$(2)$より、少なくとも$b$より小さい実数として$a$と$b$の平均$\dfrac{a+b}{2}$が存在することがわかります。
\begin{align*}a+b&<b +b\\[0.5em]a+b&<2b\end{align*}
が成り立ち、さらに両辺を$2$で割ると実数の性質2.、3.より
\begin{align*}\frac{a+b}{2}&<\frac{2b}{2}\\[0.5em]\frac{a+b}{2}&<b\tag2\end{align*}
が成り立ちます。$(2)$より、少なくとも$b$より小さい実数として$a$と$b$の平均$\dfrac{a+b}{2}$が存在することがわかります。
\[\large a<\frac{a+b}{2}<b\]
が成り立ち、「2つの異なる実数$a,
b$の間には必ずこれらの平均となる実数$\dfrac{a+b}{2}$が存在する」ことがわかりました。
つまり、どんな2つの異なる実数の間にも必ず別の実数が存在するということです。
$0.999\cdots$と$1$
では、準備ができたので最初の「$0.999\cdots$は$1$未満で$1$に最も近い数である」という主張が間違っていることを確かめてみます。
上記の主張が正しいと仮定すると、$0.999\cdots$と$1$は異なる実数で$0.999\cdots<1$という大小関係があるということになります。
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すると、$0.999\cdots$は事前準備における$a$、$1$は$b$と対応する実数であるので、$a=0.999\cdots,
b=1$を代入することができ、
すなわち、$0.999\cdots$と$1$の間には$\dfrac{0.999\cdots+1}{2}$により表せる実数が存在するということで、$\dfrac{0.999\cdots+1}{2}$は$1$未満の実数の中で$1$に最も近い数であるといえるということです。
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\[0.999\cdots<\frac{0.999\cdots+1}{2}<1\]
が成り立ちます。すなわち、$0.999\cdots$と$1$の間には$\dfrac{0.999\cdots+1}{2}$により表せる実数が存在するということで、$\dfrac{0.999\cdots+1}{2}$は$1$未満の実数の中で$1$に最も近い数であるといえるということです。
しかし、これは仮定「$0.999\cdots$が$1$未満の実数の中で$1$に最も近い数」と矛盾しています。
仮定から出発して論理を進めた結果、仮定と矛盾した事柄が現れたのは仮定が誤っているためで、実際には「$0.999\cdots$は$1$未満で$1$に最も近い数ではない」、特に$0.999\cdots$と$1$の大小関係に着目すれば$0.999\cdots≧1$であることがわかります。
仮定から出発して論理を進めた結果、仮定と矛盾した事柄が現れたのは仮定が誤っているためで、実際には「$0.999\cdots$は$1$未満で$1$に最も近い数ではない」、特に$0.999\cdots$と$1$の大小関係に着目すれば$0.999\cdots≧1$であることがわかります。
ところで、記数法より$0.999\cdots$が$1$より大きくないことは明らかです。
したがって、$0.999\cdots$は$1$より小さくなく、$1$より大きくもないため、$0.999\cdots$と$1$は等しい以外にあり得ないということがわかります。
このような結論は$0.999\cdots$と$1$に限ったものではありません。
上で現れた矛盾の正体は「隙間なくちょうど隣り合うような実数は存在しない」という実数の性質です。
上で現れた矛盾の正体は「隙間なくちょうど隣り合うような実数は存在しない」という実数の性質です。
任意の実数$A$に限りなく近づけていったとき、もし最終的に実数$A$とは見た目が違う実数$B$が得られたとしても、「隙間なくちょうど隣り合うような実数は存在しない」以上$A=B$以外にあり得ないという結論が導かれるのです。
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