三角関数の読み方 ①三角比の読み方

　三角関数の$\sinθ, \cosθ, \tanθ$の値をどうやって出すのでしょうか？
まずは、直角三角形をもちいて三角比が導き出せるようにします。

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外角の定理

外角の定理とは、三角形の外角の大きさは隣接する内角以外の内角の和と等しくなるという定理のことです。

これは三角形の内角の和が$180°$であることを証明する過程で確かめることができます。

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ヴィヴィアーニの定理

　ヴィヴィアーニの定理が成立することを確かめてみます。

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Geometric mean theorem（幾何平均定理）

　幾何平均定理（Geometric mean theorem）がなぜ成立するのかを確かめてみました。

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数値の大きさと絶対値の大きさの違い

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絶対値のある2次方程式の実数解の個数

「$|x^2-3x-18|=x+k$が実数解をもつときの$k$の値の範囲を実数解の個数ごとに場合分けをして答えよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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ひし形の対角線がひし形の内角の二等分線であることを確かめてみる

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角の二等分ベクトルはどうやって求める？

　角の二等分ベクトルはどのように求めるのでしょうか？

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平方完成すると頂点の座標がわかるのはなぜ？

　平方完成すると頂点の座標がわかるのはなぜなのでしょうか？

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2次関数と1次関数の接する条件

「$y=kx^2+4x+1$と$y=2x+\dfrac{3}{4}$が接点を持つときの$k$の値を求めよ。また、接点の座標と求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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面積の等しい三角形の作図（三角形の等積変形）

図1　$△\text{ABC}$

「図1の$△\text{ABC}$を以下の条件で等積変形した三角形を定規とコンパスで作図せよ。

(1)$∠\text{BCD}=90°$となる直角三角形$\text{DBC}$

(2)$\text{AB}=\text{BE}$となる二等辺三角形$\text{ABE}$

(3)辺$\text{AC}$を底辺としたとき$△\text{ABC}$と高さが等しい$△\text{FBM}$
ただし、頂点$\text{M}$は辺$\text{AC}$の中点である」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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平方完成するには？

　平方完成とは、2次式$ax^2+bx+c$を$a(x+p)^2+q$という2乗の項と定数項の和の形に変形することをいいます。

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対数の計算法則

　対数とは、べき乗の指数に着目した数のことです。

$a^b=M$となるとき、指数$b$は$a$と$M$をもちいて$\log_a M$と表すことができます。この$\log_a M$が対数です。

また、$a^b=M$から$b=\log_a M$へ変形することを対数をとるといいます。

対数の$a$を底、$M$を真数と呼びます。

底が$a>0$のとき真数は$a^b=M>0$となります。これを真数条件と呼びます。

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平行四辺形の中の図形の面積

図1　平行四辺形$\text{ABCD}$

「図1のように平行四辺形$\text{ABCD}$がある。辺$\text{AD}$を$2:3$に内分する点$\text{E}$をおき、線分$\text{CE}$を引く。また、$\text{CE}$を$2:3$に内分する点$\text{F}$をおく。さらに辺$\text{AB}$の中点$\text{M}$をおく。
平行四辺形の面積を$S$としたとき、図1の青い部分、$□\text{AMFE}$と$△\text{BCF}$の面積の和を$S$をもちいて表わせ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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一般項がn^4の数列の和

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sin7.5°、cos7.5°、tan7.5°はどんな数？

　$7.5°\ (=\dfrac{\pi}{24})$のときの三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。

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正三角形の中の図形の面積比

図1　正三角形の各部分の面積比は？

「図1のように正三角形の辺はそれぞれ$3:1,\ 4:1,\ 5:1$に内分されている。正三角形の重心からそれぞれの内分点に線を引き3つの四角形に分割する。このとき緑の四角形と赤い四角形と青い四角形の面積比を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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sin22.5°、cos22.5°、tan22.5°はどんな数？

　$22.5°\ (=\dfrac{\pi}{8})$のとき三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。

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ナポレオンの定理をベクトルを使って確かめる

　ナポレオンの定理が正しいことをベクトルを使って確かめてみます。

図1　ナポレオンの定理

　ナポレオンの定理とは、三角形の各辺を1辺とする正三角形を描くと各正三角形の重心を線で結ぶと正三角形ができるという定理です。

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拡大率・縮小率の計算 元の絵の何倍？

「Aさんが描いた絵がポスターに使われることになった。ポスターは元の絵の1.5倍の大きさがある。

(1)その後ポスターはパンフレットに掲載されることになり、掲載されたポスターの画像はポスターの20%の大きさであった。パンフレットに掲載されたポスターの画像の大きさは元の絵の何倍か？

(2)Aさんが描いた絵も入賞し入賞作品集に掲載されることになった。その時掲載された絵は元の絵の0.8倍の大きさであった。作品集に掲載された絵の大きさはポスターの何倍か？

なお拡大率、縮小率は寸法を元にしている。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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