3!!と(3!)!の違いは？

　$3!!$と$(3!)!$はどちらも階乗を表していますが、この2つにはどんな違いがあるのでしょうか？

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平行線と等間隔の点でつくる格子

　等間隔に引かれた3本の平行線$a, b, c$のうち、直線$a$と$c$上にそれぞれ異なる長さで等間隔に3個ずつ点$\text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3$と$\text{C}_1, \text{C}_2, \text{C}_3$を打ちます。
$\text{A}_1$と$\text{C}_1$、$\text{A}_2$と$\text{C}_2$、$\text{A}_3$と$\text{C}_3$を直線$d, e, f$で結び、直線$b$との交点をそれぞれ$\text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3$とすると、以下が成り立ちます。

\begin{align*}\text{A}_n\text{B}_n&=\text{B}_n\text{C}_n\\[0.5em]\text{X}_1\text{X}_2&=\text{X}_2\text{X}_3\\ &\quad(n=1, 2, 3.\ \text{X}=\text{A, B, C}.)\end{align*}

これはなぜなのでしょうか？

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外接円の半径と内角の1つがわかっている三角形の面積のとりうる値の範囲は？

「$∠\text{A}=135°$である三角形$\text{ABC}$は半径$3$の外接円を持つ。
この三角形の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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2023^2023の下1桁は？

「$2023^{2023}$の下1桁を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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2次関数のグラフ上の2点を通る直線のy切片を求める

「2次関数$y=\dfrac{1}{3}x^2$のグラフ上のx座標が$-2$と$6$である2点を通る直線のy切片を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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4つに分割された長方形の一部分の面積は？

「上の(1)、(2)はそれぞれ長方形を4つに分割している。
分割された図形の内部の数字はその図形の面積である。？の部分の面積を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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2つの関数のグラフに挟まれた部分の面積

　区間$a\leqq x\leqq b$において常に$f(x)\geqq g(x)$である2つの関数$y=f(x),y=g(x)$と直線$x=a,x=b$に囲まれた部分の面積$S$は、定積分を利用して

\[S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\]

で求めることができます。

定積分はx軸より上側にある部分か下側にある部分かで正負が変わりますが、なぜx軸との位置関係に関係なくこの式で面積を求めることができるのでしょうか？

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12^5の上2桁は何？

「$12^5$の上2桁を答えよ。
ただし、$2=10^{0.3010},3=10^{0.4771}$であることをもちいてよい。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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