対数方程式を解く（実数解を求める基本の方法）

　対数方程式とは、真数が未知数の対数（対数関数）を含む方程式のことです。
例えば、

\[\large \log_2{x}=3\]

のような方程式のことです。

対数方程式の実数解はどのように求めるのでしょうか？

Read More

対数関数とは？

　対数関数とは、

\[\large y=\log_a{x}\quad(a:定数)\]

という、定数$a$を底、独立変数$x$を真数とする対数$\log_a{x}$の値を従属変数$y$の値とする関数のことです。

実関数としての対数関数は実数範囲における対数$\log_a{x}$をもちいるので、底$a$は$1$でない正の実数であり、真数条件より対数関数が定義できる$x$の範囲は$x>0$となります。

関連：対数とは？（実数範囲における対数、対数の計算法則）

Read More

対数の大小関係

　対数の大小関係は以下のようになります。

$0<a<1$である正の数$a$と正の実数$M$について

\begin{cases}\log_a{M}>0&(0<M<1)\\[0.5em]\log_a{M}=0&(M=1)\\[0.5em]\log_a{M}<0&(1<M)\end{cases}

$1<a$である正の数$a$と正の実数$M$について

\begin{cases}\log_a{M}<0&(0<M<1)\\[0.5em]\log_a{M}=0&(M=1)\\[0.5em]\log_a{M}>0&(1<M)\end{cases}

正の数$a$と$M<N$である正の実数$M, N$について

\begin{cases}\log_a{M}>\log_a{N}&(0<a<1)\\[0.5em]\log_a{M}<\log_a{N}&(1<a)\end{cases}

これらが成り立つことを確かめてみます。

Read More

正の数の実数乗の値と指数の関係

　正の数の実数乗の値と指数の関係には以下のようなものがあります。

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}x>0&\Leftrightarrow &0<a^x<1\\[0.5em]x=0&\Leftrightarrow &a^x=1\\[0.5em]x<0&\Leftrightarrow &1<a^x\end{cases}

$1<a$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}x<0&\Leftrightarrow &0<a^x<1\\[0.5em]x=0&\Leftrightarrow &a^x=1\\[0.5em]x>0&\Leftrightarrow &1<a^x\end{cases}

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x, y$について

\[x<y\ \Leftrightarrow\ a^x>a^y\]

$1<a$である正の数$a$と実数$x, y$について

\[x<y\ \Leftrightarrow\ a^x<a^y\]

$1$でない正の数$a$と実数$x, y$について

\[x=y\ \Leftrightarrow\ a^x=a^y\]

これらが成り立つことを確かめてみます。

Read More

階乗とは？

　階乗とは、$n!$（$n:$自然数）で表される計算のことで、$1$から$n$までのすべての自然数を掛け合わせることを表します。
すなわち、

\begin{equation}n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots3\times2\times1\end{equation}

という計算のことです。

Read More

分母に文字を含む方程式を解く 例題5問

「次の方程式を解け。
(1)$\large\dfrac{1}{3x+1}=2$

(2)$\large\dfrac{2}{5-x}=\dfrac{3}{4}$

(3)$\large\dfrac{1}{3x^2}=\dfrac{1}{2x}$

(4)$\large\dfrac{1}{3x}=\dfrac{1}{x}$

(5)$\large\dfrac{7x}{x}=7$」

Read More

1次方程式を解く（方程式とは？、1次方程式とは？）

方程式とは？

　数または数式を等号（$=$）で結んだ

\[2+3=5\]

というようなを等式といいます。
上の等式の場合、$2+3$と$5$が等しいことを意味します。

$=$で結ばれている数や数式のことを辺といい、左側にあるものを左辺、右側にあるものを右辺、左辺と右辺を合わせて両辺といいます。

　等式のうち、

\[2a=3b\]

のように文字を含むものを方程式といいます。

Read More

指数方程式の例題8問

「次の方程式の実数解を求めよ。
(1)$\large 3^x=27$

(2)$\large 5^{x-3}=\dfrac{1}{625}$

(3)$\large 2^x=\sqrt[4]{7}$

(4)$\large 7^{2x}=8$

(5)$\large (-4)^x=-\dfrac{1}{64}$

(6)$\large (-3)^{-x}=-243$

(7)$\large 4^x=8$

(8)$\large 3^{x^2+2}=\bigl(\sqrt{27}\bigr)^{3x}$」

Read More

指数方程式を解く（実数解を求める基本の方法）

　指数方程式とは、指数が未知数のべき乗（指数関数）が含まれる方程式のことです。
例えば、

\[\large 2^x=8\]

のような方程式のことです。

指数方程式の実数解はどのように求めるのでしょうか？

Read More

負の数の整数乗の大小関係

　負の数の整数乗には、以下のような性質があります。

正の数$a$と整数$n$について

\begin{align*}&\begin{cases}(-a)^n=-a^n<0&(n:奇数)\\[0.5em](-a)^n=a^n>0&(n:偶数)\end{cases}\\[1em]&\bigl|(-a)^n\bigr|=a^n\end{align*}

正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\begin{cases}\bigl|(-a)^m\bigr|>\bigl|(-a)^n\bigr|&(0<a<1)\\[0.5em]\bigl|(-a)^m\bigr|<\bigl|(-a)^n\bigr|&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[\bigl|(-a)^m\bigr|=\bigl|(-a)^n\bigr|=1\]

正の数$a$と$m<n$である偶数$m, n$について

\begin{cases}(-a)^m>(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m<(-a)^n&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と偶数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[(-a)^m=(-a)^n=1\]

正の数$a$と偶数$m$、奇数$n$について

\[(-a)^m>(-a)^n\]

正の数$a$と$m<n$である奇数$m, n$について

\begin{cases}(-a)^m<(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m>(-a)^n&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と奇数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[(-a)^m=(-a)^n=-1\]

これらが成り立つことを確かめます。

Read More