垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは？

「上図のように$∠\text{A}=60°$である$△\text{ABC}$の頂点$\text{A}$から辺$\text{BC}$へ垂線$\text{AH}$をおろしたとき、$\text{AH}=6,\text{BH}=3$となった。このときの$\text{BH}$の長さを求めよ。」

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正十二角形の面積を求める

「上図の正十二角形の面積を求めよ。」

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直線上の点をベクトルで表すと

　座標平面上の直線$l:y=ax+b$（$a,b:$実数）上の任意の点$\text{P}$を位置ベクトル$\vec{p}$をもちいて表す方法について考えてみます。

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微分係数をもたない例を挙げてみる

　関数$y=f(x)$の$x=c$における微分係数$f'(c)$の定義式は

\[\large f'(c)=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\]

です。

ここで、極限$\lim_{x\to c}f(x)$が値$α$をもつためには

\[\lim_{x\to c-0}f(x)=\lim_{x\to c+0}f(x)=\alpha\]

である必要があります。
$\lim_{x\to c-0}f(x)$は$x$を$c$より小さい値から$c$に限りなく近づける左側極限、$\lim_{x\to c+0}f(x)$は$x$を$c$より大きい値から$c$に限りなく近づける右側極限です。

したがって、微分係数$f'(c)$の定義式においては微分係数$f'(c)$が値$α$をもつためには

\[\lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\alpha\]

が成り立つ必要があります。

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平均変化率とは？

　平均変化率とは、$x$の変化量に対する$y$の変化量の割合、言い換えれば$x$の増加量$1$あたりの$y$の変化量のことです。変化の割合ともいいます。

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なぜ連続関数は定義域の端で微分係数をもたないのか？

　$a\leqq x\leqq b$で定義されている連続関数$y=f(x)$の微分係数を調べると$x=a$と$x=b$における微分係数がありません。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

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食塩水の濃度と重さの問題

「濃度が$3$%の食塩水$200$gを加熱して水分をいくらか蒸発させた。
加熱後の食塩水の濃度を調べてみると$4$%であった。この$4$%食塩水の重さを求めよ。」

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放物線上の点の作図

「上図の直線$l$を準線、点$\text{F}$を焦点とする放物線を通る点$\text{A, B, C}$を定規とコンパスで作図せよ。
点$\text{A}$は放物線の頂点、点$\text{B}$は放物線の頂点以外の点とし、点$\text{C}$は点$\text{A, B}$の作図法以外の方法で作図すること。」

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