対数の計算法則を利用した問題

「次の$\square$に当てはまる式を答えよ。

(1)$\large \log(MN)^p=\log{N^\square}+\log{M^pN^3}$

(2)$\large \log\frac{M}{N}=\log\frac{1}{M}-\log\square$

(3)$\large \log{M^p}=\frac{1}{p}\log{M^\square}$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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なぜ複素数は|a+bi|^2=(a+bi)^2とすることができないのか？

　実数$a,b$について
\[|a+b|^2=(a+b)^2\]
という式が成り立ちます。しかし、複素数$a+bi$の場合だと
\[|a+bi|^2=(a+bi)(a-bi)\]
となります。

なぜ、複素数の場合

\[|a+bi|^2=(a+bi)^2\]

ではないのでしょうか？

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1次方程式をグラフで考える

　例として1次方程式
\[-3x+7=x+5\]
について考えます。

これを解くと$x=\dfrac{1}{2}$となります。

1次方程式をグラフで考えたとき、この解にはどんな意味があるでしょうか？

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連立方程式をグラフで考える

　連立方程式をグラフで考えるとどうなるのでしょうか？

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連立方程式を解く

　連立方程式とは、

\[\left\{\begin{align*}7x+y&=27&\cdots\text{(i)}\\[0.5em]5x+y&=21&\cdots\text{(ii)}\end{align*}\right.\]

のように複数の方程式を関連付けて並べて書いたもので、複数の方程式を関連付けることを連立するといいます。これを解くとは連立した方程式に代入するとすべての方程式が成り立つような共通する値の組を求めることです。

すなわち連立した方程式$\text{(i),(ii)}$の$x,y$にはそれぞれ同じ値が入るものと考えています。

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関数のグラフの対称移動

　関数$y=f(x)$のグラフを対称移動すると移動後のグラフの方程式は以下のようになります。

関数$y=f(x)$を〇〇に関して
対称移動すると…

〇〇	対称移動後のグラフの方程式
x軸	$y=\textcolor{red}{-f(x)}$
y軸	$y=f(\textcolor{red}{-x})$
原点	$y=\textcolor{red}{-f(\textcolor{blue}{-x})}$
直線$x=p$	$y=f(\textcolor{red}{2p}\textcolor{blue}{-x})$
直線$y=q$	$y=\textcolor{red}{2q}\textcolor{blue}{-f(x)}$
点$(p, q)$	$y=\textcolor{red}{2q}\textcolor{blue}{-f(\textcolor{red}{2p}\textcolor{blue}{-x})}$
直線$y=x$	$\textcolor{red}{x=f(y)}$ ※$y$の関数にできない場合あり

なぜこのように表すことができるのかを新しい座標を定義することで導いてみます。

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極限値と極値の違いは？

　極限値と極値、よく似ている単語ですがどのような違いがあるのでしょうか？

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2次関数の頂点が最大・最小となる条件

「2次関数$y=ax^2+2a^2x-5$ $(-2\leqq x\leqq3,\ a:実数)$において以下を満たすような$a$の値の範囲を求めよ。

(1)頂点で最大となる。

(2)頂点で最小となる。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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