どっちが分子でどっちが分母？

　分数の分子と分母、どちらなのか迷ってしまうものがあると思います。
割り算、横書きの分数、比の値。そして三角比。それぞれどちらが分子、分母になるのかを見ていきます。

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鎖の輪のように連なる円の面積の差

図1　鎖の輪状に連なる円

　「図1のように同じ半径の円が鎖の輪のように連なっている。それぞれの円の中心を線でつないでできる図形の内側にある方を白く、外側にある方を黒く円を塗り分けた。円の黒い部分の合計と白い部分の合計の面積の差はいくらになるか。1つの円の面積を1とする。」

このような問題をどのように解けばよいかを考えてみます。

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三角形の内角・外角の二等分線と線分の比の性質

　三角形の内角・外角の二等分線と線分の比の性質とは、

$\text{AB}≠\text{AC}$である$△\text{ABC}$の内角$∠\text{A}$の二等分線と辺$\text{BC}$との交点を$\text{D}$、$∠\text{A}$の外角（上図においては辺$\text{AB}$の頂点$\text{A}$側の延長上に点$\text{P}$をとった場合の$∠\text{CAP}$）の二等分線と辺$\text{BC}$の延長との交点を$\text{E}$とすると

\[\large \text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{CD}=\text{BE}:\text{CE}\]

が成り立つというものです。

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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直交する弦の長さから円の半径を求める

　円の中心を通らない直交する2本の弦$\text{AB,CD}$の各部分の長さのみがわかっているとき、円の半径を求めるにはどうすればよいでしょうか?
このとき、弦$\text{AB,CD}$の交点を$\text{P}$、線分$\text{AP,BP,CP,DP}$の長さをそれぞれ$a,b,c,d$、上図のように$a>b,c>d$であるとします。

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平方根の計算 分母の有理化

次の計算をせよ。

\[\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}\]

[類・02　明海大]

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平方根の計算 足し算・引き算

次の計算をせよ。

\[2\sqrt{12}-4\sqrt{45}+\sqrt{108}+3\sqrt{125}\]

[類・06　四国大]

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平行四辺形の中の三角形の面積は？（1つの共通の内角をもつ平行四辺形と三角形の面積）

　「平行四辺形$\text{ABCD}$の辺$\text{CD}$を$\text{CE}:\text{ED}=1:3$に内分するような点$\text{E}$、辺$\text{DA}$上に$\text{DA}:\text{DF}=3:2$となるような点$\text{F}$がある。このとき平行四辺形$\text{ABCD}$と$△\text{DEF}$の面積の比を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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共通の内角を持つ三角形の面積を求める

「面積が$10$の$△\text{ABC}$の辺$\text{AC, BC}$上にそれぞれ

\[\text{AC}:\text{PC}=3:2, \text{BC}:\text{QC}=5:3\]

となるような点$\text{P, Q}$があるとき$△\text{PQC}$の面積を求めよ。」

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