合成関数の最大値・最小値を求める

「次の関数の[ ]内の定義域における最大値と最小値を求めよ。
(1)

\begin{align*}y=(x^2-2x-3)^2+3(x^2-2x-3)+3\\ [1\leqq x\leqq3]&\end{align*}

(2)

\begin{align*}y=(x^2+4x-3)^3-(x^2+4x-3)^2-(x^2+4x-3)+2\\ [0\leqq x\leqq1]&\end{align*}

」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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2次関数のグラフの平行移動

　2次関数

\[\large y=a(x-p)^2+q\qquad\normalsize(a, p, q:定数, a\neq0)\]

のグラフは、$y=ax^2$のグラフをx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動したものであるといえます。（x軸・y軸方向とは、その座標軸の正の方向のことです。）

このことを、$y=ax^2$のグラフ上の各点の平行移動先が$y=a(x-p)^2+q$のグラフと一致することから確かめてみます。

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2直線の交点と他の一点を通る直線の方程式を求める

「直線$l:2x-3y+6=0,m:2x+y-2=0$の交点と点$(3,7)$を通る直線の方程式を求めよ。」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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「pならばq」を否定すると？

　「$p$ならば$q$」という命題を否定すると何になるのでしょうか？

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三角関数の合成 sinやcosの係数をどうするか？

　三角関数の合成とは同じ角度が入っている三角関数の和や差、すなわち$a\sinθ+b\cosθ$や$a\sinθ-b\cosθ$を1つの三角関数で表す方法のことです。

　三角関数の合成の公式は以下のようになります。

公式1

\[\large a\sin\theta\pm b\cos\theta=r\sin(\theta\pm\alpha)\tag{複号同順}\]

$r,θ$はそれぞれ

\begin{align*}\large r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{\color{red}a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{\color{blue}b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}

を満たす。

公式2

\[\large a\sin\theta\pm b\cos\theta=\pm r\cos(\theta\mp\alpha)\tag{複号同順}\]

$r,θ$はそれぞれ

\begin{align*}\large r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{\color{blue}b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{\color{red}a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}

を満たす。

これらは加法定理を利用して導くことができます。

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円周角の定理 なぜ成り立つのか？

円周角の定理とは

• 1つの弧に対する中心角の大きさは、同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。
• 1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。

という定理です。

この円周角の定理はなぜ成り立つのでしょうか？

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2次方程式の両辺をxで割って解いてはいけないのはナゼ？

\[\Large x^2-6x=0\]

という2次方程式を解くとき、両辺を$x$で割って

\begin{align*}x-6&=0\\[0.5em] x&=6\end{align*}

としてはならないのはなぜでしょうか？

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極限の不定形（∞-∞、0×∞）はなぜ極限値を出すことができないのか？

\[\Large\lim_{x\to\infty}(x-x^2)\]
　この極限はどうなるでしょうか？
このまま極限を計算しようとすると$x\to\infty$のとき$x^2\to\infty$なので、
\[\lim_{x\to\infty}(x-x^2)=\infty-\infty\]
となります。これは一例ですが$\infty-\infty$は不定形と呼ばれるもので、この状態では極限値を求めることはできません。

なぜ$\infty-\infty=0$としてはいけないのでしょうか？

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