関数の最大値や最小値が「ない」ときとはどのようなときなのでしょうか？
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\[\Large \frac{616}{a}\]
「上の分数が整数となるような自然数$a$は何個あるか？」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
2022年6月29日
2022年6月26日
2022年6月25日
合成関数の最大値・最小値を求める
「次の関数の[ ]内の定義域における最大値と最小値を求めよ。
(1)
(1)
\begin{align*}y=(x^2-2x-3)^2+3(x^2-2x-3)+3\\ [1\leqq
x\leqq3]&\end{align*}
(2)
\begin{align*}y=(x^2+4x-3)^3-(x^2+4x-3)^2-(x^2+4x-3)+2\\ [0\leqq
x\leqq1]&\end{align*}
」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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2022年6月24日
2次関数のグラフの平行移動
2次関数
\[\large y=a(x-p)^2+q\qquad\normalsize(a, p, q:定数, a\neq0)\]
のグラフは、$y=ax^2$のグラフをx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動したものであるといえます。（x軸・y軸方向とは、その座標軸の正の方向のことです。）
このことを、$y=ax^2$のグラフ上の各点の平行移動先が$y=a(x-p)^2+q$のグラフと一致することから確かめてみます。
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2022年6月22日
2022年6月20日
2022年6月19日
三角関数の合成 sinやcosの係数をどうするか？
三角関数の合成とは同じ角度が入っている三角関数の和や差、すなわち$a\sinθ+b\cosθ$や$a\sinθ-b\cosθ$を1つの三角関数で表す方法のことです。
三角関数の合成の公式は以下のようになります。
公式1
\[\large a\sin\theta\pm
b\cos\theta=r\sin(\theta\pm\alpha)\tag{複号同順}\]
$r,θ$はそれぞれ
\begin{align*}\large
r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{\color{red}a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{\color{blue}b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}
を満たす。
公式2
\[\large a\sin\theta\pm b\cos\theta=\pm
r\cos(\theta\mp\alpha)\tag{複号同順}\]
$r,θ$はそれぞれ
\begin{align*}\large
r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{\color{blue}b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{\color{red}a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}
を満たす。
これらは加法定理を利用して導くことができます。
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2022年6月18日
円周角の定理 なぜ成り立つのか？
- 1つの弧に対する中心角の大きさは、同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。
- 1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。
この円周角の定理はなぜ成り立つのでしょうか？
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2022年6月17日
2次方程式の両辺をxで割って解いてはいけないのはナゼ？
\[\Large x^2-6x=0\]
という2次方程式を解くとき、両辺を$x$で割って
\begin{align*}x-6&=0\\[0.5em] x&=6\end{align*}
としてはならないのはなぜでしょうか？
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2022年6月14日
極限の不定形（∞-∞、0×∞）はなぜ極限値を出すことができないのか？
\[\Large\lim_{x\to\infty}(x-x^2)\]
この極限はどうなるでしょうか？
このまま極限を計算しようとすると$x\to\infty$のとき$x^2\to\infty$なので、
\[\lim_{x\to\infty}(x-x^2)=\infty-\infty\]
となります。これは一例ですが$\infty-\infty$は不定形と呼ばれるもので、この状態では極限値を求めることはできません。
なぜ$\infty-\infty=0$としてはいけないのでしょうか？
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2022年6月12日
2022年6月9日
2022年6月8日
ヴィヴィアーニの定理の拡張についての考察
Wikipediaのヴィヴィアーニの定理のページにて正多角形と等角多角形、凸な等辺多角形においても成り立つとの記述があったので、このヴィヴィアーニの定理の拡張を自分なりに考察してみました。
四角形については以前の記事で言及しているので五角形をもちいます。
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2022年6月5日
積の微分・商の微分
2つの関数$f(x),g(x)$同士を掛けたり割ったりしたものの微分、積の微分・商の微分は以下のようになります。
\begin{align*}\{f(x)g(x)\}'&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\[1.5em]\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[1.5em]\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'&=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\end{align*}
なぜこのようになるのでしょうか？
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対数関数を指数に持つ指数関数の微分
「次の関数を微分せよ。
(1)$\large e^{\log_e{x}}$ $\large(x>0)$
(2)$\large e^{x\log_e{2}}$
(3)$\large e^{\log_3{x}}$ $\large(x>0)$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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