ベクトルの内積を表す2式

　$\vec{\text{A}}=(a_1,a_2),\vec{\text{B}}=(b_1,b_2)$の2つのベクトルのなす角がθであるとき内積を表す式は

\begin{align*}\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{B}}=|\vec{\text{A}}||\vec{\text{B}}|\cosθ\\[1em]\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{B}}=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}

の2式あります。

この2式がどちらも内積を表していることを確かめてみます。

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三角形の線分の長さを求める

「$\text{AB}=10, \text{BC}=14, ∠\text{ABC}=60°$である$△\text{ABC}$がある。各頂点と$△\text{ABC}$内の点$\text{O}$を結ぶ各直線$\text{AO, BO, CO}$がそれぞれ辺$\text{BC, AC, AB}$と交わる点を$\text{P, Q, R}$をとする。点$\text{P}$は辺$\text{BC}$を$3:4$に内分し、点$\text{R}$は辺$\text{AB}$を$3:2$に内分するとき以下の線分の長さを求めよ。

(1)$\text{AQ}$

(2)$\text{AO}$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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三角関数を含む不等式を解く

「$0\leqqθ\leqq2\pi$のとき、以下の不等式を解け。

(1)$\large\sinθ\geqq\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)$\large\tanθ<\sqrt{3}$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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メネラウスの定理

　メネラウスの定理とは、$△ABC$のどの頂点も通らない直線と各辺またはその延長線との交点を$P,Q,R$とすると、

\[\large\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}=1\]

が成り立つという定理です。

赤い矢印のループの任意の頂点の位置から開始し、分数の分母と分子に交互に線分の長さ、または内分・外分比を入れながら一巡すれば上の式をつくることができます。

これはなぜ成り立つのでしょうか？

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チェバの定理

　チェバの定理とは、$△ABC$の各頂点から伸びる3本の直線が点$O$で交わり、各直線と通る頂点の対辺またはその延長線との交点を$P,Q,R$とするとき

\[\large\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}=1\]

が成り立つという定理です。

赤い矢印のループの任意の頂点の位置から開始し、分数の分母と分子に交互に線分の長さ、または内分・外分比を入れながら一巡すれば上の式をつくることができます。

これはなぜ成り立つのでしょうか？

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三角関数を含む方程式（三角方程式）

「次の方程式を解け。右の括弧内を$θ$の範囲とする。

(1)$\large\cosθ=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\large(0°\leqqθ<360°)$

(2)$\large\tanθ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\large(0\leqqθ<2\pi)$

(3)$\large 2\sqrt{3}\sinθ+3=0$ $\large(0\leqqθ<2\pi)$

(4)$\large 2\cos^2θ=\cosθ$ $\large(500°\leqqθ\leqq1000°)$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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三角関数sinθ、cosθ、tanθの相互関係

　三角関数$\sinθ, \cosθ, \tanθ$の間にはどのような関係があるのでしょうか？

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The two tangent theorem（2接線の定理）

　The two tangent theorem（2接線の定理）とは、円$\text{O}$の外にある点$\text{P}$を通る円$\text{O}$の2接線$\text{PA, PB}$（点$\text{A, B}$は円$\text{O}$の接点）の間に

\[\large \text{PA}=\text{PB}\]

という関係があることを表す定理です。

　これが成立することを確かめてみます。

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