2数、3数の場合の相加平均と相乗平均の大小関係

　2数の相加平均と相乗平均の大小関係は

\begin{align*}\frac{a+b}{2}&\geqq\sqrt{ab}\\ &(a\geqq0,b\geqq0)\end{align*}

等号成立は$a=b$

3数の相加平均と相乗平均の大小関係は

\begin{align*}\frac{a+b+c}{3}&\geqq\sqrt[3]{abc}\\ &(a\geqq0,b\geqq0,c\geqq0)\end{align*}

等号成立は$a=b=c$

となります。

これらはなぜ成り立つのでしょうか？

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虚数単位と平方根の積の公式

虚数単位とは？

　実数の範囲では非負実数のものしか考えられない平方根ですが、考える範囲を負の実数にまで拡張したときに導入される実数とは異なる数が虚数であり、その基礎となるのが虚数単位です。

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平方根とは？ 平方根の計算法則

平方根とは？

　正の数$a$の2乗は$a^2$となります。また、$a$と符号を反転させた負の数$-a$も2乗すると$a^2$となります。
このとき、$a$と$-a$は絶対値が等しい数です。また、$a^2$は必ず正の値を持ちます。

　では逆に2乗して$a^2$になる数はなにかというと上記より$a$と$-a$の2つといえます。
この2乗して$a^2$になる$a$と$-a$のことを$a^2$の平方根といい、正の数$a$のことを正の平方根、負の数$-a$のことを負の平方根といいます。この2つをまとめて$\pm a$とも書くことができます。
$0$の平方根は、2乗して$0$となる数は$0$のみであることから$0$ただ1つです。

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f(x)=|x|を導関数にもつ関数を求める

\[f(x)=|x|\]

「上の関数$f(x)$を導関数にもつ関数$F(x)$を求めよ。」

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未知数が3つある連立方程式を解く

「以下の連立方程式を解け。

\[\left\{\begin{array}{rl}x-3y+6z&=-4\\[0.5em]5x+3y-2z&=18\\[0.5em]-x+9y-20z&=15\end{array}\right.\]」

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投げ上げたボールの最高点を求める

「Aさんがボールを投げ上げたところ$2[\text{m}]$先にある高さ$3[\text{m}]$の塀の上にある瓶に当たった。
ボールがAさんから瓶までの地点間を$5:3$に内分する位置で最高点に到達したとき、最高点におけるボールの高さを求めよ。

ボールがAさんの手を離れた直後のボールの位置はAさんの頭上で高さは$2[\text{m}]$とし、瓶に当たるとはAさんから$2[\text{m}]$先、高さ$3[\text{m}]$の位置をボールの中心が通過する軌道を描いたものとする。
また、空気抵抗は無視する。」

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三平方の定理を利用して四面体の辺の長さを求める

「$\text{OC}=10, \text{AC}=15, \text{BC}=20, ∠\text{OCA}=∠\text{OCB}=90°$である四面体$\text{OABC}$がある。この四面体に以下の条件が加わった場合の$\text{AB}$の長さを求めよ。

(1)$∠\text{BAC}=90°$

(2)$∠\text{AOB}=90°$」

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連分数で表された数はどんな数？

「次の連分数が表す数を求めよ。

(1)$3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots}}}$

(2)$-2+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}$」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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弧の長さと半径からおうぎ形の面積を求める

「半径が$4[\text{cm}]$、弧の長さが$7[\text{cm}]$であるおうぎ形の面積を求めよ。円周率は$\pi$とする。」

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