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| 図1 座標空間内の2点間の距離 |
座標空間内の原点と点A$(a_x,a_y,a_z)$の2点間の距離を求めてみます。
まずは原点と点Aをx-y平面上に投影した点A'$(a_x,a_y,0)$との距離（青い線）を求めます。
図1の青い三角形のようにx軸、y軸に平行な辺を持つ直角三角形を作り、三平方の定理を利用して距離を計算します。x-y平面上の原点とA'の距離をR'とすると
\begin{align*}{R'}^2&={a_x}^2+{a_y}^2\\ \\ R'&=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2}&(R'>0)\end{align*}
となります。
次に原点、点A、点A'の3点でできる図1の黄色い直角三角形の斜辺（赤い線）の長さ、すなわち求めたい原点と点Aの距離を三平方の定理を利用して導きます。求める距離をRとすると
\begin{align*}R^2&={R'}^2+{a_z}^2\\ &=(\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2})^2+{a_z}^2\\ &={a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2\\ \\ R&=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2}&(R>0)\end{align*}
となります。
関連：座標平面上の2点間の距離
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