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2024年10月22日

座標空間内の2点間の距離

 座標空間内の2点A(xa,ya,za),B(xb,yb,zb)A(xa,ya,za),B(xb,yb,zb)間の距離ABAB
AB=(xbxa)2+(ybya)2+(zbza)2AB=(xbxa)2+(ybya)2+(zbza)2
と表すことができます。

なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。


1. x,y,z座標のうち少なくとも2つが等しいとき

 2つの点のx,y,z座標のうち少なくとも2つが等しいときとは例えばxa=xbxa=xbかつya=ybya=ybのようなときのことで、2点A, BA, Bとも適切な平行移動を行えば同じ座標軸上に移せるような位置にあります。
このとき「数直線上の2点間の距離」よりABABを求めることができます。
2点の座標のうち少なくとも2つが等しいときの2点間の距離
上に例示したxa=xbxa=xbかつya=ybya=ybのときは、線分ABABはz軸に平行であるので
AB=|zbza|AB=|zbza|
により求めることができます。
同様にしてya=ybya=ybかつza=zbza=zbのときは、線分ABABはx軸に平行であるので
AB=|xbxa|AB=|xbxa|
za=zbza=zbかつxa=xbxa=xbのときは、線分ABABはy軸に平行であるので
AB=|ybya|AB=|ybya|
となります。

なお、2つの点のx,y,z座標のすべてが等しい、すなわちxa=xbxa=xbかつya=ybya=ybかつza=zbza=zbのとき、点A, BA, Bは同じ点であるのでAB=0AB=0となります。


2. x,y,z座標のうちただ1つが等しいとき

 2つの点のx,y,z座標のうちただ1つが等しいときとは例えばxa=xbxa=xbのようなときのことで、2点A, BA, Bとも2つの座標軸を含む平面上にあります。
このとき、「座標平面上の2点間の距離」よりABABを求めることができます。
2点の座標のうちただ1つが等しいときの2点間の距離
上に例示したxa=xbxa=xbのときは、線分ABABはyz平面上にあるので
AB=(ybya)2+(zbza)2AB=(ybya)2+(zbza)2
により求めることができます。
同様にしてya=ybya=ybのとき、線分ABABはzx平面上にあるので
AB=(zbza)2+(xbxa)2AB=(zbza)2+(xbxa)2
za=zbza=zbのとき、線分ABABはxy平面上にあるので
AB=(xbxa)2+(ybya)2AB=(xbxa)2+(ybya)2
となります。

3. x,y,z座標のいずれも異なるとき

 2つの点のx,y,z座標のいずれも異なるときとはxaxbxaxbかつyaybyaybかつzazbzazbのときのことです。
このとき、点A, BA, Bのいずれかと1.を満たし、かつもう一方と2.を満たす点CCをとってABCABCをつくり、三平方の定理を利用してABABを求めます。
2点の座標のどれも異なるときの2点間の距離
ここでは点AAと1.を満たし、かつ点BBと2.を満たす点(xa,ya,zb)(xa,ya,zb)CCとします。
ACACの長さは1.より|zazb||zazb|、辺BCBCの長さは2.より(xbxa)2+(ybya)2(xbxa)2+(ybya)2となります。
z軸はxy平面に垂直なので、z軸に平行な辺ACACとxy平面と平行な平面上にある辺BCBCも垂直です。
したがって、ABCABCCCが直角である直角三角形であることがわかります。
すると、三平方の定理
AB2=BC2+AC2AB2=BC2+AC2
が成り立つので、ここから辺ABABの長さを求めると
AB2=((xbxa)2+(ybya)2)2+|zazb|2=(xbxa)2+(ybya)2+|zazb|2=(xbxa)2+(ybya)2+(zazb)2(|x|2=x2)AB=(xbxa)2+(ybya)2+(zazb)2(AB>0)AB2=((xbxa)2+(ybya)2)2+|zazb|2=(xbxa)2+(ybya)2+|zazb|2=(xbxa)2+(ybya)2+(zazb)2(|x|2=x2)AB=(xbxa)2+(ybya)2+(zazb)2(AB>0)
となります。
これは1.、2.の場合も満たします。
例えばxa=xb=pxa=xb=pかつya=yb=qya=yb=qp,q:p,q:すべての実数)のとき、1.によればABAB
AB=|zbza|AB=|zbza|
となり、3.によれば
AB=(pp)2+(qq)2+(zbza)2=0+0+(zbza)2=(zbza)2=|zbza|(x2=|x|)AB=(pp)2+(qq)2+(zbza)2=0+0+(zbza)2=(zbza)2=|zbza|(x2=|x|)
となりABABを表す式が一致します。
これはxa=xbxa=xbまたはya=ybya=ybまたはza=zbza=zbのときに含まれる他の場合においても同様です。
したがって、点A, BA, Bがどこにあるかにかかわらず、これら2点間の距離ABAB
AB=(xbxa)2+(ybya)2+(zbza)2AB=(xbxa)2+(ybya)2+(zbza)2
と表せることがわかります。

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