2点間の距離とは、2点を直線で結んだときの線分の長さのことです。座標平面上の2点間の距離は三平方の定理を利用して導きます。
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| 図1 2点間の距離 |
異なる2点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$の距離を求めるには、図1のピンク線のようにそれぞれの点からx軸に平行な直線とy軸に平行な直線を引きます。この2直線によって直角三角形ができます。
この直角三角形のx軸に平行な辺の長さは$x_2-x_1$、y軸に平行な辺の長さは$y_2-y_1$となります。
点の位置関係を考慮するなら、値が負になる場合があるので絶対値を取り$|x_2-x_1|,|y_2-y_1|$とするほうがより正確です。
直角三角形の斜辺が2点間の距離となるので、これをrとおけば三平方の定理より
\[r^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\]
となります。これをrについて解けば
\[r=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\quad(r>0)\]
2点のx座標が等しい、すなわち$x_1=x_2$のときの2点間の距離は$|y_2-y_1|$、
y座標が等しい、すなわち$y_1=y_2$のときの2点間の距離は$|x_2-x_1|$となります。
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