自己交叉する多角形の辺がつくる角の大きさの和を求める

「上の5本の辺のうち2本が互いに交わっている図形の赤く示した角の大きさの和を求めよ。」

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等差数列の第n部分和の極限（等差級数）

無限等差数列のすべての項の和を等差級数（あるいは無限等差級数）といい、第$n$部分和の$n$を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。
すなわち、初項$a$、公差$d$の等差級数は

\[\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\bigl\{2a+(n-1)d\bigr\}\]

により求められます。

関連：等差数列の和

これが発散するか収束するかは初項$a$と公差$d$によって決まります。

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等比数列の第n部分和の極限（等比級数）

　無限等比数列のすべての項の和を等比級数（あるいは無限等比級数）といい、第$n$部分和の$n$を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。
すなわち、初項$a$、公比$r$（ただし、$a\neq0,r\neq0$）の等比級数は

\[\sum_{n=1}^\infty{a r^{n-1}}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}&(r\neq1)\\[0.5em]\displaystyle\lim_{n\to\infty}na&(r=1)\end{array}\right.\]

により求められます。

関連：等比数列の和

これが発散するか収束するかは公比$r$によって決まります。

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第n部分和の極限（級数）

　無限数列のすべての項の総和は、第$n$部分和を利用して求めます。

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初項0または公比0の等比数列は存在するか？

　等比数列には、初項が$0$のものや公比が$0$のものは存在するでしょうか？

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等比数列の項はnが大きくなるとどうなるか？（等比数列の極限）

　等比数列の一般項は

\[a_n=a r^{n-1}\quad(a:初項,r:公比,n:自然数)\]

と表せます。（ただし、$a\neq0,r\neq0$）

$n$が大きくなっていくと等比数列の項はどうなるでしょうか？

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一般項が等差数列と等比数列の積となっている数列の第n部分和

　一般項が等差数列の一般項と等比数列の一般項の積となっている数列の第$n$部分和はどのように求めることができるでしょうか？

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階差数列とは？

　階差数列とは、ある数列の隣り合う項の差にあらわれる数列のことです。

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数列の途中の項からの部分和

「次の部分和を求めよ。

(1)初項が$3$、公差が$4$の等差数列の第$5$項から第$10$項までの和

(2)初項が$-3$、公比が$2$の等比数列の第$3$項から第$7$項までの和」

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自然数の平方数・立方数を小さい順に並べた数列の第n部分和

　自然数の平方数を小さい順に並べた数列の初項から第$n$項までの総和（第$n$部分和）は

\[\large\sum_{k=1}^n{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

自然数の立方数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和は

\[\large\sum_{k=1}^n{k^3}=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]

となります。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

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1からnまでの自然数の和（自然数を小さい順に並べた数列の第n部分和）

　$1$から$n$までの自然数をすべて足し合わせると、その和$S$は

\[\large S=\frac{n(n+1)}{2}\]

となります。

この式を2通りの方法で導いてみます。

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Σをもちいた数列の和の表し方（部分和）

　数列のある項から別のある項までのすべての項の和のことを部分和といい、特に初項から第$n$項までの和のことを第$n$部分和といいます。
数列$\{a_n\}$の第$n$部分和は、例えば$S_n$というように文字でおくことがありますが、$\sum$をもちいて

\[\large\sum_{k=1}^n{a_k}\]

というように表すこともできます。

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