四平方の定理（ド・グアの定理）

　四平方の定理とは、

四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい

という定理です。

すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれ$P, Q, R$、もう1つの面の面積を$S$とおくと

\[\large P^2+Q^2+R^2=S^2\]

が成り立つということです。

これが成り立つことを確かめてみます。

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三角形の外心・内心と角度

「上図の角度$x,y$をそれぞれ求めよ。
(1)の点$\text{I}$は$△\text{ABC}$の内心、(2)の点$\text{O}$は$△\text{DEF}$の外心である。」

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√2^√2^√2^√2^…はどんな値をもつか？

\[\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}}\]

　上の数はどんな値をもつでしょうか？

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二等辺三角形から30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比が求まるまで

　二等辺三角形の性質を調べるところから始めて最終的に$30°-60°-90°$の直角三角形の3辺の比を求めてみます。
ただし、三角形の内角の和や三角形の合同、三平方の定理はすでにわかっているものとします。

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正六角形の1辺の長さや対角線の長さから面積を求める公式をつくってみる

　正六角形の面積を1辺の長さや対角線の長さから求める公式はどのようなものでしょうか？

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台形の4辺の長さから面積を求める公式

　$\text{AB}//\text{CD}$である台形$\text{ABCD}$の4辺の長さがそれぞれ$\text{AB}=a,\text{BC}=b,\text{CD}=c,\text{DA}=d$（ただし、$a>c$）のとき、台形$\text{ABCD}$の面積$S$は

\[\large S=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{\begin{aligned}&(-a+b+c+d)(a-b-c+d)\\ &\quad\cdot(a+b-c+d)(a+b-c-d)\end{aligned}}\]

で求めることができます。（長いので根号内で改行しています。）

なぜこれで台形$\text{ABCD}$の面積が求められるのでしょうか？

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垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは？

「上図のように$∠\text{A}=60°$である$△\text{ABC}$の頂点$\text{A}$から辺$\text{BC}$へ垂線$\text{AH}$をおろしたとき、$\text{AH}=6,\text{BH}=3$となった。このときの$\text{BH}$の長さを求めよ。」

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