座標平面の2点\text{A}(a_1, a_2), \text{B}(b_1, b_2)を結ぶ線分\text{AB}をm:nに内分する点\text{P}(p_1, p_2)のp_1, p_2はそれぞれa_1, a_2, b_1, b_2をもちいてどのように表されるでしょうか?
1. 線分\text{AB}がx軸に平行な場合
線分\text{AB}がy軸に平行な場合、3点\text{A, B, P}のy座標は等しくなります。すなわち、a_2=b_2=p_2の場合です。ここではy座標をyとおきます。
このとき線分\text{AB}の長さは線分の両端の2点\text{A, B}それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので|b_1-a_1|となります。
このとき線分\text{AB}の長さは線分の両端の2点\text{A, B}それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので|b_1-a_1|となります。
すると、線分\text{AP}の長さは
\text{AP}=\frac{m}{m+n}|b_1-a_1|
線分\text{BP}の長さは
\text{BP}=\frac{n}{m+n}|b_1-a_1|
と表すことができます。
a_1<b_1のとき
a_1<b_1のとき、点\text{A, B}の位置関係は上図と同様であり、線分\text{AB}の長さは|b_1-a_1|=b_1-a_1と表されます。
点\text{P}は点\text{A}からx軸方向に線分\text{AP}の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点\text{P}のx座標は
\begin{align*}p_1&=a_1+\frac{m}{m+n}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=a_1+\frac{m}{m+n}(b_1-a_1)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_1+m(b_1-a_1)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_1+na_1}{m+n}\end{align*}
すなわち、点\text{P}の座標は
(p_1, p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, y\right)
と表すことができます。
a_1>b_1のとき
a_1>b_1のとき、点\text{A, B}の位置関係は上図のようになり、線分\text{AB}の長さは|b_1-a_1|=a_1-b_1と表されます。
点\text{P}は点\text{B}からx軸方向に線分\text{BP}の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点\text{P}のx座標は
点\text{P}は点\text{B}からx軸方向に線分\text{BP}の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点\text{P}のx座標は
\begin{align*}p_1&=b_1+\frac{n}{m+n}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=b_1+\frac{n}{m+n}(a_1-b_1)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)b_1+n(a_1-b_1)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_1+na_1}{m+n}\end{align*}
すなわち、点\text{P}の座標は
(p_1, p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, y\right)
と表すことができます。
以上より、点\text{A, B}のx座標の大小関係がどのようであってもx軸に平行な線分\text{AB}をm:nに内分する点\text{P}の座標は
\large (p_1, p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, y\right)
となることがわかります。
2. 線分\text{AB}がy軸に平行な場合
線分\text{AB}がy軸に平行な場合、3点\text{A, B, P}のx座標は等しくなります。すなわち、a_1=b_1=p_1の場合です。ここではx座標をxとおきます。
このとき線分\text{AB}の長さは2点\text{A, B}それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので|b_2-a_2|となります。
このとき線分\text{AB}の長さは2点\text{A, B}それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので|b_2-a_2|となります。
線分\text{AP}の長さは
\text{AP}=\frac{m}{m+n}|b_2-a_2|
線分\text{BP}の長さは
\text{BP}=\frac{n}{m+n}|b_2-a_2|
と表すことができます。
a_2<b_2のとき
a_2<b_2のとき、点\text{A, B}の位置関係は上図と同様であり、線分\text{AB}の長さは|b_2-a_2|=b_2-a_2と表されます。
点\text{P}は点\text{A}からy軸方向に線分\text{AP}の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点\text{P}のy座標は
\begin{align*}p_2&=a_2+\frac{m}{m+n}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=a_2+\frac{m}{m+n}(b_2-a_2)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_2+m(b_2-a_2)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_2+na_2}{m+n}\end{align*}
すなわち、点\text{P}の座標は
(p_1, p_2)=\left(x, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)
と表すことができます。
a_2>b_2のとき
点\text{P}は点\text{B}からy軸方向に線分\text{BP}の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点\text{P}のy座標は
\begin{align*}p_2&=b_2+\frac{n}{m+n}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=b_2+\frac{n}{m+n}(a_2-b_2)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)b_2+n(a_2-b_2)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_2+na_2}{m+n}\end{align*}
すなわち、点\text{P}の座標は
(p_1, p_2)=\left(x, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)
と表すことができます。
以上より、点\text{A, B}のy座標の大小関係がどのようであってもy軸に平行な線分\text{AB}をm:nに内分する点\text{P}の座標は
\large (p_1, p_2)=\left(x, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)
となることがわかります。
3. 線分\text{AB}がx軸にもy軸にも平行でない場合
点\text{A}を通るx軸に平行な直線y=a_2と点\text{B}を通るy軸に平行な直線x=b_1を引き、その交点を\text{C}とします。点\text{C}は点\text{A}と等しいy座標、点\text{B}と等しいx座標をもちます。
また、点\text{P}を通るy軸に平行な直線x=p_1と\text{AC}との交点を\text{Q}、点\text{P}を通るx軸に平行な直線y=p_2と\text{BC}との交点を\text{R}とします。点\text{Q}は点\text{P}と等しいx座標、点\text{R}は点\text{P}と等しいy座標をもちます。
また、点\text{P}を通るy軸に平行な直線x=p_1と\text{AC}との交点を\text{Q}、点\text{P}を通るx軸に平行な直線y=p_2と\text{BC}との交点を\text{R}とします。点\text{Q}は点\text{P}と等しいx座標、点\text{R}は点\text{P}と等しいy座標をもちます。
ここで△\text{APQ}と△\text{PBR}に着目すると
- \text{PQ}//\text{BR}より同位角は等しいので∠\text{APQ}=∠\text{PBR}
- x軸とy軸は垂直で、それぞれに平行な直線同士も垂直となるから∠\text{AQP}=∠\text{PRB}=90°
\text{AP}:\text{BP}=m:nは相似比となるため、同様に\text{AQ}:\text{PR}=\text{PQ}:\text{BR}=m:n。さらに四角形\text{PQCR}は長方形なので\text{PQ}=\text{CR, PR}=\text{CQ}より
\text{AQ}:\text{CQ}=\text{CR}:\text{BR}=m:n \tag{*}
が成り立つことがわかります。
これはa_1, b_1とa_2, b_2の大小関係に関わらず成り立ちます。
(*)が成り立つということは点\text{Q}は線分\text{AC}をm:nに内分する点、点\text{R}は線分\text{BC}をm:nに内分する点であるということです。
すると、点\text{Q}のx座標と点\text{R}のy座標を求めることができれば点\text{P}の座標がわかります。
(*)が成り立つということは点\text{Q}は線分\text{AC}をm:nに内分する点、点\text{R}は線分\text{BC}をm:nに内分する点であるということです。
すると、点\text{Q}のx座標と点\text{R}のy座標を求めることができれば点\text{P}の座標がわかります。
線分\text{AC}はx軸に平行な線分でその長さは|b_1-a_1|です。
したがって、1.より点\text{Q}のx座標p_1は
したがって、1.より点\text{Q}のx座標p_1は
p_1=\frac{mb_1+na_1}{m+n}
と求められます。
線分\text{BC}はy軸に平行な線分でその長さは|b_2-a_2|です。
したがって、2.より点\text{R}のy座標p_2は
したがって、2.より点\text{R}のy座標p_2は
p_2=\frac{mb_2+na_2}{m+n}
と求められます。
以上より点\text{P}の座標は
\begin{equation}(p_1, p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)\end{equation}
と表されることがわかります。
ここで(1)のy座標にb_2=a_2を代入すると
\begin{align*}p_2&=\frac{ma_2+na_2}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_2}{m+n}\\[0.5em]&=a_2\end{align*}
すなわちa_2=b_2=p_2が成り立って点\text{P}の座標が\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, a_2\right)となり、1.の場合の点\text{P}の座標と一致します。
また、(1)のx座標にb_1=a_1を代入すると
\begin{align*}p_1\frac{ma_1+na_1}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_1}{m+n}\\[0.5em]&=a_1\end{align*}
すなわちa_1=b_1=p_1が成り立って点\text{P}の座標が\left(a_1, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)となり、2.の場合の点\text{P}の座標と一致します。
以上より線分\text{AB}がどのような位置にあってもm:nに内分する点\text{P}の座標は
\large\color{red}\text{P}\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)
と表せることがわかります。
さらにm=nのとき点\text{P}の座標は
\begin{align*}\left(\frac{mb_1+ma_1}{m+m}, \frac{mb_2+ma_2}{m+m}\right)&=\left(\frac{m(a_1+b_1)}{2m}, \frac{m(a_2+b_2)}{2m}\right)\\[0.5em]&=\left(\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}\right)\end{align*}
となり、中点の座標と一致します。
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