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2025年3月23日

等比数列とは?

等比数列
 等比数列とは、隣接する項の比が一定である数列のことです。
例えば、
3,9,27,81,273,
という33を掛けた回数が小さい順に並べた数列は等比数列の1つです。

隣接する項の一定の比のことを公比といい、これをrとおいたとき
r=an+1an
によって求めることができます。このため、rが定義されるためにはan0である必要があります。
また、上式を変形すると
(1)an+1=anr(n:)
という式になります。これが等比数列の漸化式です。
初項a、公比rの等比数列の各項は、第2項以降を(1)の漸化式をもちいて表すと
a1=aa2=a1ra3=a2ran1=an2ran=an1r
となります。
an=(an2r)r={(an3r)r}r=a1rrrrn1=a1rn1an=arn1
上のようにanの式にan1の式を代入、その後an2の式を代入、…と繰り返すと最終的に
an=arn1
という式になります。これが等比数列の一般項です。
 上に例示した33を掛けた回数が小さい順に並べた数列の一般項は3nと書けます。この数列の各項における漸化式は
9=3×327=9×381=27×3273=81×3 3n1=3n2×33n=3n1×3
となり、r=3なる公比が確かに存在するため等比数列であるといえることがわかります。
このことから、例示した数列は、初項3、公比3の等比数列{an}としてみると一般項を
an=33n1
と書くことができ、これは元の数列の一般項3nの変形です。

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