等比数列とは？

　等比数列とは、隣接する項同士の比が一定である数列のことです。
例えば、

$$3,9,27,81,273,\cdots$$

という$3$に$3$を掛けた回数が小さい順に並べた数列が等比数列の1つです。

隣接する項同士の比のことを公比といい、これは

$$\begin{equation}a_{n+1}=a_n r\end{equation}$$

という漸化式を満たします。
上に例示した数列の各項における漸化式は

$$\begin{align*}9&=3\textcolor{red}{\times3}\\[0.5em]27&=9\textcolor{red}{\times3}\\[0.5em]81&=27\textcolor{red}{\times3}\\[0.5em]273&=81\textcolor{red}{\times3}\\ \vdots\ &\qquad\vdots\end{align*}$$

となり、$r=3$なる公比が確かに存在するため等比数列であるといえることがわかります。

また、公比$r$は$a_n\neq0$の場合に限り$(1)$を変形した

$$r=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$

によっても求めることができます。

初項$a$、公比$r$の等比数列の第2項以降を$(1)$の漸化式をもちいて表すと

$$\begin{align*}a_2&=a_1 r\\[0.5em]a_3&=a_2 r\\ \vdots &\quad\qquad\vdots\\ a_{n-1}&=a_{n-2}r\\[0.5em]a_n&=a_{n-1}r\end{align*}$$

となります。

$$\begin{align*}a_n&=(a_{n-2}r)r\\[0.5em]&=\bigl\{(a_{n-3}r)r\bigr\}r\\ &\qquad\qquad\vdots\\ &=a_1\cdot\overbrace{r\cdot r\cdot\cdots\cdot r\cdot r}^{n-1\text{個}}\\[0.5em]&=a_1r^{n-1}\\[0.5em]\therefore a_n&=a r^{n-1}\end{align*}$$

上のように$a_n$の式に$a_{n-1}$の式を代入、その後$a_{n-2}$の式を代入、…と繰り返し、$a_1=a$を代入すると最終的に

$$\large a_n=a r^{n-1}$$

という式になります。これが等比数列の一般項です。

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