三角形の外心と垂心の関係

　三角形の外心と垂心には次のような性質があります。

「三角形のある頂点から垂心までの距離は、その対辺から外心までの距離の2倍である。」

上図のように頂点$\text{A}$とその対辺$\text{BC}$に着目した場合は、頂点$\text{A}$から垂心$\text{H}$までの距離$\text{AH}$と外心$\text{O}$から対辺$\text{BC}$までの距離$\text{OM}$の間には$\text{AH}=2\text{OM}$が成り立ちます。
これが成り立つことを鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形それぞれの場合にわけて確かめてみます。

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鈍角三角形の3本の垂線の性質

　鋭角三角形の各頂点から対辺におろした3本の垂線にはどのような性質があるでしょうか？

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直角三角形の垂線の性質

　直角三角形の各頂点から対辺へおろした垂線のうち、直角の頂点から以外のものは辺と重なります。
したがって、直角三角形の垂線というと直角の頂点から引いたものしかないように見えます。上図の直角三角形$\text{ABC}$においては線分$\text{AD}$のことです。

この垂線にはどのような性質があるでしょうか？

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鋭角三角形の3本の垂線の性質

　鋭角三角形の各頂点から対辺におろした3本の垂線にはどのような性質があるでしょうか？

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加法定理と正弦定理でトレミーの定理を証明してみる

　トレミーの定理とは、円に内接する四角形$\text{ABCD}$において

\[\large\text{AB}\cdot\text{CD}+\text{AD}\cdot\text{BC}=\text{AC}\cdot\text{BD}\]

という関係が成り立つという定理のことです。

これが成り立つことを、加法定理と正弦定理を利用して証明してみます。

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スチュワートの定理

　$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$上に点$\text{P}$をうち、線分$\text{AP}$を引くと

\[\text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2=\text{BC}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}\cdot\text{CP}\bigr)\]

という関係が成り立ちます。この関係のことをスチュワートの定理といいます。

なぜこれが成り立つといえるのでしょうか？

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中線定理 なぜ成り立つ？

　$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$の中点を$\text{M}$とし、中線$\text{AP}$を引くと

\[\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2+\text{BM}^2)\]

という関係が成り立ちます。この関係のことを中線定理といいます。

なぜこれが成り立つといえるのでしょうか？

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約分可能な有理関数のグラフは？

「次の関数のグラフの概形を描け。

(1)$\large y=\dfrac{x^2}{x}$

(2)$\large y=\dfrac{(2x+3)(x+1)(x-2)}{x+1}$

(3)$\large y=\dfrac{x^3+4x^2-11x-30}{x^2-3x-10}$」

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「AさんとBさんは嘘つき」の否定は？

「Aさん、Bさん、Cさんの3人からそれぞれ以下のような話を聞くことができた。

A：Cさんは正直者です。
B：Aさんは嘘つきです。
C：AさんとBさんは嘘つきです。

3人のうち2人が嘘つきで1人だけが正直者であるとき、正直者であるのは誰か？」

このような問題でCさんが嘘つきであると仮定したとき、Cさんの発言内容からわかることは何でしょうか？

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-θ、90°±θ、180°±θ、270°±θの三角関数

　角度が$-θ,90°±θ,180°±θ,270°±θ$それぞれのときの三角関数は角度$θ$のときの三角関数とどんな関係にあるのかを調べてみます。

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