$1$から$n$までの自然数をすべて足し合わせると、その和$S$は
\[\large S=\frac{n(n+1)}{2}\]
となります。
この式を2通りの方法で導いてみます。
方法1
$1$から$n$までの自然数を小さい順に足し合わせたとき、この和は$S$となり
\begin{equation}S=1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)+n\end{equation}
と表すことができます。
今度は、$1$から$n$までの自然数を大きい順に足し合わせると、この和も$S$となるので、
\begin{equation}S=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+3+2+1\end{equation}
と表せます。
$(1)+(2)$より
\begin{array}{lrlllllll}&S=&1&+2&+3&+\cdots&+(n-2)&+(n-1)&+n\\[0.5em]+)&S=&n&+(n-1)&+(n-2)&+\cdots&+3&+2&+1\\[0.5em]\hline&2S=&(n+1)&+(n+1)&+(n+1)&+\cdots&+(n+1)&+(n+1)&+(n+1)\end{array}
$1$から$n$までの自然数の個数は$n$個なので、$(n+1)$は$n$個あることより
\[2S=n(n+1)\]
となります。
これを両辺を$2$で割ると
\[\large S=\frac{n(n+1)}{2}\]
という$1$から$n$までの自然数をすべて足し合わせたときの和を表す式を得ることができます。
方法2
この方法では、恒等式
\[(k+1)^2-k^2=2k+1\]
を利用します。
上の恒等式の$k$に$1$から$n$までの自然数を1つずつ代入して、$n$個の式をつくります。
すると、以下のような式ができます。
すると、以下のような式ができます。
\begin{array}{c}2^2-1^2&=&2\cdot1+1\\[0.5em]3^2-2^2&=&2\cdot2+1\\[0.5em]4^2-3^2&=&2\cdot3+1\\
\vdots&&\vdots\\
(n-1)^2-(n-2)^2&=&2(n-2)+1\\[0.5em]n^2-(n-1)^2&=&2(n-1)+1\\[0.5em](n+1)^2-n^2&=&2n+1\end{array}
これらの式の辺々を加えます。
\begin{array}{rrrrrrrrrrrcll}&&&&&&&2^2&-1^2&=&2\cdot1&+1\\[0.5em]&&&&&&3^2&-2^2&&=&2\cdot2&+1\\[0.5em]&&&&&4^2&-3^2&&&=&2\cdot3&+1\\
&&&&\vdots&&&&&&\vdots\\
&&&(n-1)^2&-(n-2)^2&&&&&=&2(n-2)&+1\\[0.5em]&&n^2&-(n-1)^2&&&&&&=&2(n-1)&+1\\[0.5em]+)&(n+1)^2&-n^2&&&&&&&=&2n&+1\\[0.5em]\hline&(n+1)^2&&&&&&&-1^2&=&2\left\{\begin{aligned}&1+2+\cdots\\
&\quad+(n-1)+n\end{aligned}\right\}&+\Bigl(\underbrace{\begin{aligned}&1+1+\cdots\\
&\quad+1+1\end{aligned}}_{n\text{個}}\Bigr)\end{array}
すると、
\[(n+1)^2-1=2S+n\]
という式が得られます。
この式を$S$について解くと
\begin{align*}(n^2+2n+1)-1&=2S+n\\[0.5em]n^2+2n&=2S+n\\[0.5em]2S&=n^2+n\\[0.5em]&=n(n+1)\\[0.5em]\therefore
S&=\frac{n(n+1)}{2}\end{align*}
となり、$1$から$n$までの自然数をすべて足し合わせたときの和を表す式を得ることができます。
ちなみに、$1$から$n$までの自然数をすべて足し合わせたときの和は、自然数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和でもあり、この数列の一般項は$n$であることから
\[S=\sum_{k=1}^n{k}\]
と書くことができます。
したがって、
\[\sum_{k=1}^n{k}=\frac{n(n+1)}{2}\]
が成り立ちます。
以下に紹介する動画のように視覚的に説明することもできます。
動画：Sum of n natural numbers | Visual Proof | MathVsScience | math - YouTube
動画：Sum of n natural numbers | Visual Proof | MathVsScience | math - YouTube
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