一般項がnの数列
$a_n=n$となる数列の和は、
\[\sum^n_{k=1}a_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\]
で、これに左辺を逆順に並べた同じ数列の和
\[\sum^n_{k=1}a_n=n+(n-1)+\cdots+2+1\]
を足して
\begin{array}{c}&\sum^n_{k=1}a_n=&1+&2+&\cdots&+(n-1)&+n\\[0.5em]+)&\sum^n_{k=1}a_n=&n+&(n-1)+&\cdots&+2&+1\\[0.5em]\hline &2\sum^n_{k=1}a_n=&(n+1)+&(n+1)+&\cdots&+(n+1)&+(n+1)\end{array}
$n+1$が$n$個あるので
\[2\sum^n_{k=1}a_n=n(n+1)\]
したがって、
\[\sum^n_{k=1}a_n=\frac{1}{2}n(n+1)\]
となります。 あるいは、$(k+1)^2$と$k^2$の差を考え
\[(k+1)^2-k^2=2k+1\]
という式をつくります。この式の$k$に1を代入した式、2を代入した式、3を代入した式…、$n$を代入した式をつくり、全てを足し合わせます。
すると、左辺は
\begin{align*}(左辺)&=(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+\\
&\qquad\cdots+\{n^2-(n-1)^2\}+\{(n+1)^2-n^2\}\end{align*}
同じ大きさで正負が逆の数があるので整理すると
\[(左辺)=(n+1)^2-1^2=n^2+2n\]
右辺は
\begin{align*}(右辺)&=(2\cdot1+1)+(2\cdot2+1)+\cdots\\
&\qquad\cdots+\{2(n-1)+1\}+(2n+1)\\[0.5em]&=2\{1+2+\cdots+(n-1)+n\}\\ &\qquad+(\overbrace{1+1+1+\cdots+1+1+1}^{n個})\\[0.5em]&=2\sum^n_{k=1}k+\sum^n_{k=1}1\\[0.5em] &=2\sum^n_{k=1}k+n\end{align*}
したがって
\begin{align*}n^2+2n&=2\sum^n_{k=1}k+n\\[0.5em] 2\sum^n_{k=1}k&=n^2+n\\[0.5em] &=n(n+1)\\[0.5em] \sum^n_{k=1}k&=\frac{1}{2}n(n+1)\end{align*}
となり、同じように一般項がnの数列の和を求めることができます。一般項が$n^2$の数列
$a_n=n^2$となる数列の和は、$a_n=n$となる数列の和を求める後者の方法を利用します。
$(k+1)^3$と$k^3$の差を考え
\[(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\]
という式をつくります。この式の$k$に1を代入した式、2を代入した式、3を代入した式…、$n$を代入した式をつくり、全てを足し合わせます。
すると、左辺は
\begin{align*}(左辺)&=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+\cdots\\
&\qquad\cdots+\{n^3-(n-1)^3\}+\{(n+1)^3-n^3\}\\[0.5em]&=(n+1)^3-1^3\\[0.5em] &=n^3+3n^2+3n\\[0.5em] &=n^3+3n(n+1)\end{align*}
右辺は
\begin{align*}(右辺)&=3\sum^n_{k=1}k^2+3\sum^n_{k=1}k+\sum^n_{k=1}1\\[0.5em] &=3\sum^n_{k=1}k^2+3\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n\\[0.5em] &=3\sum^n_{k=1}k^2+\frac{3}{2}n(n+1)+n\end{align*}
したがって、
\begin{align*}n^3+3n(n+1)&=3\sum^n_{k=1}k^2+\frac{3}{2}n(n+1)+n\\[0.5em] 3\sum^n_{k=1}k^2&=n^3-n+\frac{3}{2}n(n+1)\\[0.5em] &=n(n+1)(n-1)+\frac{3}{2}n(n+1)\\[0.5em]&=n(n+1)(n+\frac{1}{2})\\[0.5em]\sum^n_{k=1}k^2&=\frac{1}{3}n(n+1)(n+\frac{1}{2})\end{align*}
ここで、
\[n+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2n+1)\]
なので
\[\sum^n_{k=1}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\]
となります。一般項が$n^3$の数列
$a_n=n^3$となる数列の和を求めるには、$(k+1)^4$と$k^4$の差を考え
\[(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\]
という式を作ります。この式の$k$に1を代入した式、2を代入した式、3を代入した式…、$n$を代入した式をつくり、全てを足し合わせます。
すると、左辺は
\begin{align*}(左辺)&=(2^4-1^4)+(3^4-2^4)+\cdots\\
&\qquad\cdots+\{n^4-(n-1)^4\}+\{(n+1)^4-n^4\}\\[0.5em]&=(n+1)^4-1^4\\[0.5em] &=n^4+4n^3+6n^2+4n\\[0.5em] &=n^4+2n(2n^2+3n+1)+2n\\[0.5em] &=n^4+2n(n+1)(2n+1)+2n\end{align*}
右辺は
\begin{align*}(右辺)&=4\sum^n_{k=1}k^3+6\sum^n_{k=1}k^2+4\sum^n_{k=1}k+\sum^n_{k=1}1\\[0.5em] &=4\sum^n_{k=1}k^3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n\end{align*}
したがって、
\begin{align*}&n^4+2n(n+1)(2n+1)+2n\\
&\qquad=4\sum^n_{k=1}k^3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n\\[0.5em]&\begin{aligned}4\sum^n_{k=1}k^3&=n^4+n+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)\\[0.5em] &=n(n+1)(n^2-n+1)+n(n+1)(2n+1)\\ &\qquad-2n(n+1)\\[0.5em]&=n(n+1)(n^2+n)\\[0.5em] &=n^2(n+1)^2\\[0.5em]\sum^n_{k=1}k^3&=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\\[0.5em] &=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\end{aligned}\end{align*}
となります。
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