リサジュー図形とは？

　リサジュー図形とは、各点のx座標とy座標が三角関数の$\sin$や$\cos$によって決まる図形のことです。

すなわち、例えば

\begin{cases}x=A\cos(at+\theta)\\[0.5em]y=B\sin(bt+\varphi)\end{cases}

（$A,B,a,b,θ,φ:$定数）という媒介変数表示で表される図形のことをリサジュー図形といいます。

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互いに素でない2数に関する命題の真偽は？

「$a,b$を自然数、$p$を素数とするとき、以下の命題の真偽を調べよ。

(1)$a$と$b$が互いに素でないならば$a$は$b$の倍数である

(2)$a$と$p$が互いに素でないならば$a$は$p$の倍数である」

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フェルマーの小定理

　フェルマーの小定理とは、素数$p$と$p$と互いに素な整数$a$について

\begin{equation}\large a^{p-1}\equiv1\pmod p\end{equation}

が成り立つという定理のことです。

これが成り立つことを確かめてみます。

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ウィルソンの定理とその逆

　ウィルソンの定理とは、任意の素数$p$について

\begin{equation}\large(p-1)!\equiv-1\pmod p\end{equation}

が成り立つ、という定理のことです。

これが成り立つことを確かめてみます。

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ある素数未満の自然数の倍数をある素数で割ったときの余りの性質

　素数$p$と$p$未満の任意の自然数$k$について

\begin{equation}\large kx\equiv1\pmod p\end{equation}

を満たす$p$未満の自然数$x$が必ず存在する

という性質があります。

これが成り立つことを確かめてみます。

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倍数を互いに素な自然数で割ったときの余りの性質

　互いに素な整数$A$と自然数$B$について
$A,2A,\cdots,(B-1)A,BA$をそれぞれ$B$で割ったときの余りを一列に並べたものは$0,1,\cdots,B-2,B-1$の並び替えである

という性質があります。

これが成り立つことを確かめてみます。

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関数のグラフを伸び縮みさせる

　関数$y=f(x)$と$by=f(ax)$（$a,b:$正実数）それぞれのグラフにはどのような違いがあるでしょうか？

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微分係数の定義式を利用して証明する問題

「

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\]

上記の式は微分係数の定義式である。
これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)\]

」

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