リサジュー図形とは？

　リサジュー図形とは、各点のx座標とy座標が三角関数の$\sin$や$\cos$によって決まる図形のことです。

すなわち、例えば

\begin{cases}x=A\cos(at+\theta)\\[0.5em]y=B\sin(bt+\varphi)\end{cases}

（$A,B,a,b,θ,φ:$定数）という媒介変数表示で表される図形のことをリサジュー図形といいます。

Read More

互いに素でない2数に関する命題の真偽は？

「$a,b$を自然数、$p$を素数とするとき、以下の命題の真偽を調べよ。

(1)$a$と$b$が互いに素でないならば$a$は$b$の倍数である

(2)$a$と$p$が互いに素でないならば$a$は$p$の倍数である」

Read More

フェルマーの小定理

　フェルマーの小定理とは、素数$p$と$p$と互いに素な整数$a$について

\begin{equation}\large a^{p-1}\equiv1\pmod p\end{equation}

が成り立つという定理のことです。

これが成り立つことを確かめてみます。

Read More

ウィルソンの定理とその逆

　ウィルソンの定理とは、任意の素数$p$について

\begin{equation}\large(p-1)!\equiv-1\pmod p\end{equation}

が成り立つ、という定理のことです。

これが成り立つことを確かめてみます。

Read More

ある素数未満の自然数の倍数をある素数で割ったときの余りの性質

　素数$p$と$p$未満の任意の自然数$k$について

\begin{equation}\large kx\equiv1\pmod p\end{equation}

を満たす$p$未満の自然数$x$が必ず存在する

という性質があります。

これが成り立つことを確かめてみます。

Read More

倍数を互いに素な自然数で割ったときの余りの性質

　互いに素な整数$A$と自然数$B$について
$A,2A,\cdots,(B-1)A,BA$をそれぞれ$B$で割ったときの余りを一列に並べたものは$0,1,\cdots,B-2,B-1$の並び替えである

という性質があります。

これが成り立つことを確かめてみます。

Read More

関数のグラフを伸び縮みさせる

　関数$y=f(x)$のグラフをx軸方向に$p$倍、y軸方向に$q$倍拡大・縮小したグラフの方程式は

\[\large y=q f\left(\frac{x}{p}\right)\qquad(p, q:実数; p, q\neq0)\]

となります。
ただし、$|p|>1$のときはx軸方向の拡大、
$0<|p|<1$のときはx軸方向の縮小を表し、
$|q|>1$のときはy軸方向の拡大、
$0<|q|<1$のときはy軸方向の縮小を表します。

また、$p<0$のときはy軸に関して対称移動を、
$q<0$のときはx軸に関して対称移動を、
$p<0$かつ$q<0$のときは原点に関して対称移動をともなう拡大・縮小となります。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

Read More

微分係数の定義式を利用して証明する問題

「

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\]

上記の式は微分係数の定義式である。
これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)\]

」

Read More