12月 2024 ~ 数学について考えてみる

2024年12月18日

　ウィルソンの定理とは、任意の素数$p$において

\begin{equation}\large(p-1)!\equiv-1\pmod p\end{equation}

が成り立つ、という定理のことです。

これが成り立つことを確かめてみます。

　素数$p$と$p$未満の任意の自然数$k$について

\begin{equation}\large kx\equiv1\pmod p\end{equation}

を満たす$p$未満の自然数$x$が必ず存在する

という性質があります。

これが成り立つことを確かめてみます。

　互いに素な自然数$A,B$について
$A,2A,\cdots,(B-1)A,BA$をそれぞれ$B$で割ったときの余りを一列に並べたものは$0,1,\cdots,B-2,B-1$の並び替えである

という性質があります。

これが成り立つことを確かめてみます。

　関数$y=f(x)$と$by=f(ax)$（$a,b:$正実数）それぞれのグラフにはどのような違いがあるでしょうか？

「

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\]

上記の式は微分係数の定義式である。
これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)\]

」