tanのとりうる値の範囲はなぜすべての実数なのか？

 　任意の実数$θ$において$\tanθ$のとりうる値の範囲はなぜすべての実数なのでしょうか？

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三角関数 半角の公式

\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}

　これら三角関数の半角の公式は、$\cos$の2倍角の公式

\begin{align*}\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\tag{a}\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag{b}\end{align*}

を利用して導くことができます。

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三角関数 2倍角の公式

\begin{align*}\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\tag1\\[1em]\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag2\\[0.5em]&=1-2\sin^2\theta\\[1em]\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag3\end{align*}

　これら三角関数の2倍角の公式は三角関数の加法定理を利用して導くことができます。

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三角関数の加法定理

　三角関数の加法定理とは、任意の角$α,β$について

\begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[1em]\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align}

が成り立つという定理です。

これらはなぜ成り立つのでしょうか？

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正負の数の足し算・引き算を数直線で考える

符号のない数の足し算

　符号のない数の足し算は、足される数より足す数だけ大きい数が答えとなります。

例えば$3+2$は足される数$3$より足す数$2$だけ大きい数$5$が答えとなります。

すなわち

\[3+2=5\]

となります。

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公約数についてこれは正しい？

「『約数はある整数を割り切ることができる整数のことなので、整数$A$の約数$g$は

\[\frac{A}{g}=N\quad(N:整数)\]

を満たす整数$g$のことであるといえる。であれば2つの整数$A,B$の公約数は

\[\frac{AB}{g^2}=N\]

を満たす整数$g$のことである。』

これは正しいか？」

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1次不定方程式の整数解を求める(2)

「次の1次不定方程式の整数解をすべて求めよ。

(1)$\large37x+42y=3$

(2)$\large84x-56y=21$

(3)$\large39x+52y=12$」

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公倍数は最小公倍数の倍数？

　なぜ公倍数は最小公倍数の倍数となるのでしょうか？

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中点連結定理の拡張の考察

　中点連結定理を利用して次の性質を導くことができるでしょうか？

性質$\text{(I)}$：$△\text{ABC}$の2辺$\text{AB, AC}$上にそれぞれ$\text{AP}:\text{AB}=\text{AQ}:\text{AC}=m:n$ （ただし$m, n:$正の実数、$m\neq n$）となる点$\text{P, Q}$をとり、これらを結んだ線分$\text{PQ}$は辺$\text{BC}$と$\text{PQ}//\text{BC, PQ}:\text{BC}=m:n$という関係をもつ。

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