正の数の実数乗の値と指数の関係

　正の数の実数乗の値と指数の関係には以下のようなものがあります。

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}x>0&\Leftrightarrow &0<a^x<1\\[0.5em]x=0&\Leftrightarrow &a^x=1\\[0.5em]x<0&\Leftrightarrow &1<a^x\end{cases}

$1<a$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}x<0&\Leftrightarrow &0<a^x<1\\[0.5em]x=0&\Leftrightarrow &a^x=1\\[0.5em]x>0&\Leftrightarrow &1<a^x\end{cases}

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x, y$について

\[x<y\ \Leftrightarrow\ a^x>a^y\]

$1<a$である正の数$a$と実数$x, y$について

\[x<y\ \Leftrightarrow\ a^x<a^y\]

$1$でない正の数$a$と実数$x, y$について

\[x=y\ \Leftrightarrow\ a^x=a^y\]

これらが成り立つことを確かめてみます。

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階乗とは？

　階乗とは、$n!$（$n:$自然数）で表される計算のことで、$1$から$n$までのすべての自然数を掛け合わせることを表します。
すなわち、

\begin{equation}n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots3\times2\times1\end{equation}

という計算のことです。

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分母に文字を含む方程式を解く 例題5問

「次の方程式を解け。
(1)$\large\dfrac{1}{3x+1}=2$

(2)$\large\dfrac{2}{5-x}=\dfrac{3}{4}$

(3)$\large\dfrac{1}{3x^2}=\dfrac{1}{2x}$

(4)$\large\dfrac{1}{3x}=\dfrac{1}{x}$

(5)$\large\dfrac{7x}{x}=7$」

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1次方程式を解く（方程式とは？、1次方程式とは？）

方程式とは？

　数または数式を等号（$=$）で結んだ

\[2+3=5\]

というようなを等式といいます。
上の等式の場合、$2+3$と$5$が等しいことを意味します。

$=$で結ばれている数や数式のことを辺といい、左側にあるものを左辺、右側にあるものを右辺、左辺と右辺を合わせて両辺といいます。

　等式のうち、

\[2a=3b\]

のように文字を含むものを方程式といいます。

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指数方程式の例題8問

「次の方程式の実数解を求めよ。
(1)$\large 3^x=27$

(2)$\large 5^{x-3}=\dfrac{1}{625}$

(3)$\large 2^x=\sqrt[4]{7}$

(4)$\large 7^{2x}=8$

(5)$\large (-4)^x=-\dfrac{1}{64}$

(6)$\large (-3)^{-x}=-243$

(7)$\large 4^x=8$

(8)$\large 3^{x^2+2}=\bigl(\sqrt{27}\bigr)^{3x}$」

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指数方程式を解く（実数解を求める）

　指数方程式とは、指数部分が未知数のべき乗（指数関数）が含まれる方程式のことです。
例えば、

\[\large 2^x=8\]

のような方程式のことです。

指数方程式の実数解はどのように求めるのでしょうか？

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負の数の整数乗の大小関係

　負の数の整数乗には、以下のような性質があります。

正の数$a$と整数$n$について

\begin{align*}&\begin{cases}(-a)^n=-a^n<0&(n:奇数)\\[0.5em](-a)^n=a^n>0&(n:偶数)\end{cases}\\[1em]&\bigl|(-a)^n\bigr|=a^n\end{align*}

正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\begin{cases}\bigl|(-a)^m\bigr|>\bigl|(-a)^n\bigr|&(0<a<1)\\[0.5em]\bigl|(-a)^m\bigr|<\bigl|(-a)^n\bigr|&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[\bigl|(-a)^m\bigr|=\bigl|(-a)^n\bigr|=1\]

正の数$a$と$m<n$である偶数$m, n$について

\begin{cases}(-a)^m>(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m<(-a)^n&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と偶数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[(-a)^m=(-a)^n=1\]

正の数$a$と偶数$m$、奇数$n$について

\[(-a)^m>(-a)^n\]

正の数$a$と$m<n$である奇数$m, n$について

\begin{cases}(-a)^m<(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m>(-a)^n&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と奇数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[(-a)^m=(-a)^n=-1\]

これらが成り立つことを確かめます。

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対数とは？（実数範囲における対数、対数の計算法則）

　対数とは、べき乗の値からみたべき乗の指数のことです。

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