数学について考えてみる

2025年12月21日

0.999…と1は等しい？

　小数点以下に$9$が無限に続く$0.999\cdots$（循環小数の記法では$0.\dot{9}$）と$1$が等しいのは本当でしょうか？

アポロニウスの定理とは？（アポロニウスの円）

　アポロニウスの定理とは、

2つの定点$\text{A}, \text{B}$からの距離の比が$m:n$（ただし、$m\neq n$）となる点$\text{P}$をとると、点$\text{P}$は線分$\text{AB}$の内分点と外分点を直径の両端とする円周上にある

という定理のことです。

線分$\text{AB}$の内分点と外分点を直径の両端とする円のことをアポロニウスの円といいます。

ちなみに、アポロニウスの定理というと中線定理のことを指す場合もあります。

これが成り立つことを確かめてみます。

三角形の内角・外角の二等分線の定理の逆

PLUMBAGO幾何...三角形, 数...割合...比, 定理, 量...角度

　三角形の内角・外角の二等分線と線分の比とは以下のようなものです。

$△\text{ABC}$の内角$∠\text{A}$の二等分線と辺$\text{BC}$との交点を$\text{D}$、$∠\text{A}$の外角$∠\text{CAP}$の二等分線と辺$\text{BC}$の延長との交点を$\text{E}$とすると

\[\text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{CD}=\text{BE}:\text{CE}\]

これの定理の逆として以下が成り立ちます。

$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$を$\text{AB}:\text{AC}$に内分する点を$\text{D}$、外分する点を$\text{E}$とすると、直線$\text{AD}, \text{AE}$はそれぞれ内角$∠\text{A}$とその外角の二等分線となる。

これが成り立つことを確かめてみます。

九点円の中心はどこにある？

PLUMBAGO幾何...円, 幾何...三角形, 幾何...点

　九点円の中心は三角形の垂心と外心を結ぶ線分の中点にあります。
このことを確かめてみます。

　$△\text{ABC}$と定点$\text{P}$を考えます。
直線$\text{AP}, \text{BP}, \text{CP}$上にそれぞれ$\text{AP}:\text{DP}=\text{BP}:\text{EP}$$=\text{CP}:\text{FP}=m:n$となるように点$\text{D}, \text{E}, \text{F}$をとります。
このとき、3点$\text{D}, \text{E}, \text{F}$はそれぞれ定点$\text{P}$に関する点$\text{A}, \text{B}, \text{C}$との位置関係が一致するようにとります。（例えば、点$\text{D}$が定点$\text{P}$に関して点$\text{A}$と同じ側にあるならば点$\text{E}, \text{F}$もそれぞれ同じ比で点$\text{B}, \text{C}$と同じ側にとります。）

すると、$△\text{DEF}$は$△\text{ABC}$と相似になります。

このことを確かめてみます。