三角形の3辺の長さと内接円の半径

　三角形の内接円の半径は3辺の長さから以下のように求めることができます。

3辺の長さが$a,b,c$の三角形の内接円の半径$r$は

\[\large r=\frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{2(a+b+c)}\]

特に、斜辺の長さが$a$で他の2辺の長さが$b,c$の直角三角形の内接円の半径$r$は

\[\large r=\frac{b+c -a}{2}\]

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指数方程式の例題8問 発展編

「次の指数方程式の実数解を求めよ。
(1)$\large3^x=\dfrac{9}{3^{2x}}$

(2)$\large5^{3x}=625\cdot5^x$

(3)$\large4^x-64=3\cdot\bigl(-4^x\bigr)$

(4)$\large\bigl(\sqrt[4]{2}\bigr)^x=8$

(5)$\large3^x-9^x=72$

(6)$\large\dfrac{2^x}{18}=\dfrac{2}{3^x}$

(7)$\large\dfrac{27}{25}\cdot5^x=5\cdot3^x$

(8)$\large\dfrac{9^x+25^x}{2}=15^x$」

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対数方程式を解く（実数解を求める基本の方法）

　対数方程式とは、真数が未知数の対数（対数関数）を含む方程式のことです。
例えば、

\[\large \log_2{x}=3\]

のような方程式のことです。

対数方程式の実数解はどのように求めるのでしょうか？

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対数関数とは？

　対数関数とは、

\[\large y=\log_a{x}\quad(a:定数)\]

という、定数$a$を底、独立変数$x$を真数とする対数$\log_a{x}$の値を従属変数$y$の値とする関数のことです。

実関数としての対数関数は実数範囲における対数$\log_a{x}$をもちいるので、底$a$は$1$でない正の実数であり、真数条件より対数関数が定義できる$x$の範囲は$x>0$となります。

関連：対数とは？（実数範囲における対数、対数の計算法則）

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対数の大小関係

　対数の大小関係は以下のようになります。

$0<a<1$である正の数$a$と正の実数$M$について

\begin{cases}\log_a{M}>0&(0<M<1)\\[0.5em]\log_a{M}=0&(M=1)\\[0.5em]\log_a{M}<0&(1<M)\end{cases}

$1<a$である正の数$a$と正の実数$M$について

\begin{cases}\log_a{M}<0&(0<M<1)\\[0.5em]\log_a{M}=0&(M=1)\\[0.5em]\log_a{M}>0&(1<M)\end{cases}

正の数$a$と$M<N$である正の実数$M, N$について

\begin{cases}\log_a{M}>\log_a{N}&(0<a<1)\\[0.5em]\log_a{M}<\log_a{N}&(1<a)\end{cases}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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正の数の実数乗の値と指数の関係

　正の数の実数乗の値と指数の関係には以下のようなものがあります。

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}x>0&\Leftrightarrow &0<a^x<1\\[0.5em]x=0&\Leftrightarrow &a^x=1\\[0.5em]x<0&\Leftrightarrow &1<a^x\end{cases}

$1<a$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}x<0&\Leftrightarrow &0<a^x<1\\[0.5em]x=0&\Leftrightarrow &a^x=1\\[0.5em]x>0&\Leftrightarrow &1<a^x\end{cases}

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x, y$について

\[x<y\ \Leftrightarrow\ a^x>a^y\]

$1<a$である正の数$a$と実数$x, y$について

\[x<y\ \Leftrightarrow\ a^x<a^y\]

$1$でない正の数$a$と実数$x, y$について

\[x=y\ \Leftrightarrow\ a^x=a^y\]

これらが成り立つことを確かめてみます。

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階乗とは？

　階乗とは、$n!$（$n:$自然数）で表される計算のことで、$1$から$n$までのすべての自然数を掛け合わせることを表します。
すなわち、

\begin{equation}n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots3\times2\times1\end{equation}

という計算のことです。

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分母に文字を含む方程式を解く 例題5問

「次の方程式を解け。
(1)$\large\dfrac{1}{3x+1}=2$

(2)$\large\dfrac{2}{5-x}=\dfrac{3}{4}$

(3)$\large\dfrac{1}{3x^2}=\dfrac{1}{2x}$

(4)$\large\dfrac{1}{3x}=\dfrac{1}{x}$

(5)$\large\dfrac{7x}{x}=7$」

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