対数とは？（実数範囲における対数、対数の計算法則）

　対数とは、べき乗の値からみたべき乗の指数のことです。

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指数関数とは？

　指数関数とは、

\[\large y=a^x\quad(a:定数)\]

という、定数$a$を底、独立変数$x$を指数とするべき乗$a^x$の値を従属変数$y$の値とする関数のことです。

実関数としての指数関数は実数範囲のべき乗$a^x$をもちいるので、実数乗の定義より底$a$は$a>0$であり、かつ常に$a^x=1$となる$a=1$のときを除いて一般に$a\neq1$とします。

関連：べき乗とは？　④実数乗（無理数乗への拡張）

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正の数の実数乗の大小関係

　正の数の実数乗の大小関係は以下のようになります。

$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}1<a^x&(x<0)\\[0.5em]a^x=1&(x=0)\\[0.5em]0<a^x<1&(x>0)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と実数$x$について、$x$の値にかかわらず

\[a^x=1\]

$1<a$である正の数$a$と実数$x$について

\begin{cases}0<a^x<1&(x<0)\\[0.5em]a^x=1&(x=0)\\[0.5em]1<a^x&(x>0)\end{cases}

正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について

\begin{cases}a^x>a^y&(0<a<1)\\[0.5em]a^x=a^y=1&(a=1)\\[0.5em]a^x<a^y&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と実数$x, y$について、$x, y$の大小関係にかかわらず

\[a^x=a^y=1\]

$a<b$である正の数$a, b$と実数$x$について

\begin{cases}a^x>b^x&(x<0)\\[0.5em]a^x=b^x=1&(x=0)\\[0.5em]a^x<b^x&(x>0)\end{cases}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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円に内接する台形は等脚台形？

「円$\text{O}$の弦$\text{AB}$に平行な弦$\text{CD}$を引く。
このときにできる四角形$\text{ABCD}$は等脚台形であることを示せ。」

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べき乗とは？ ④実数乗（無理数乗への拡張）

　指数の範囲は無理数乗を定義することで有理数全体から実数全体に拡張することができます。

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正の数の有理数乗の大小関係

　正の数の有理数乗の大小関係は以下のようになります。

$0<a<1$である正の数$a$と有理数$s$について

\begin{cases}1<a^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]0<a^s<1&(s>0)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と有理数$s$について、$s$の値にかかわらず

\[a^s=1\]

$1<a$である正の数$a$と有理数$s$について

\begin{cases}0<a^s<1&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]1<a^s&(s>0)\end{cases}

正の数$a$と$s<t$である有理数$s, t$について

\begin{cases}a^s>a^t&(0<a<1)\\[0.5em]a^s<a^t&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と有理数$s, t$について、$s, t$の大小関係にかかわらず

\[a^s=a^t=1\]

$a<b$である正の数$a, b$と有理数$s$について

\begin{cases}a^s>b^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=b^s=1&(s=0)\\[0.5em]a^s<b^s&(s>0)\end{cases}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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