多項式の因数分解公式

　本記事では、以下の因数分解公式

\begin{align*}xy+x+y+1&=(x+1)(y+1)\\[1em]xy-x-y+1&=(x-1)(y-1)\\[1em]a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca&=(a+b+c)^2\\[1em]a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align*}

が因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出せることを確かめてみます。

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xの3次式の因数分解公式

　$x$の3次式の因数分解公式には以下のようなものがあります。

\begin{align*}x^3+3ax^2+3a^2x+a^3&=(x+a)^3\\[1em]x^3-3ax^2+3a^2x-a^3&=(x-a)^3\\[1em]x^3+a^3&=(x+a)(x^2-ax+a^2)\\[1em]x^3-a^3&=(x-a)(x^2+ax+a^2)\end{align*}

これらは$x$の2次式の因数分解公式と同様に、因数分解の基本の共通因数の括りだしによって導き出すことができます。

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xの2次式の因数分解で使う因数分解公式

　$x$の2次式の因数分解で利用する因数分解公式には

\begin{align*}x^2+(a+b)x +ab&=(x+a)(x+b)\\[1em]x^2+2ax+a^2&=(x+a)^2\\[1em]x^2-2ax+a^2&=(x-a)^2\\[1em]x^2-a^2&=(x+a)(x-a)\\[1em]acx^2+(ad+bc)x +bd&=(ax+b)(cx+d)\\[1em]a^2x^2+2abx+b^2&=(ax+b)^2\\[1em]a^2x^2-2abx+b^2&=(ax-b)^2\\[1em]ax^2-b^2&=(ax+b)(ax-b)\end{align*}

があります。

これらの公式は、因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出すことができます。

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x^2の係数が1以外のxの2次式の因数分解（たすき掛け）

　$x^2$の係数が$1$以外の$x$の2次式

\[\large px^2+qx+r\quad(p,q,r:実数;p\neq1)\]

はどのようにして$x$の1次式同士の掛け算の形まで因数分解すればよいでしょうか？

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x^2の係数が1のxの2次式の因数分解

　$x^2$の係数が$1$の$x$の2次式

\[\large x^2+px+q\quad(p,q:実数)\]

はどのようにして$x$の1次式同士の掛け算の形まで因数分解すればよいのでしょうか？

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多項式の因数分解とは？

　多項式の因数分解とは、1つの多項式を複数の整式（単項式や多項式）の掛け算の形で表すことです。これは、1つの多項式を展開式とみて、展開前の状態に戻すことでもあります。

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式の展開とは？（分配法則、乗法公式）

　整式（単項式または多項式）と多項式の掛け算を単項式の和、すなわち1つの多項式にすることを式を展開する、できた多項式のことを展開式といいます。

式の展開はどのように行うのでしょうか？

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二項定理とは？

　二項定理とは、2項式の累乗を展開した多項式の各項の係数に関する定理のことで、$(a+b)^n$（ただし、$a\neq0$かつ$b\neq0$）という2項式の自然数$n$乗を展開したとき、

\begin{align*}\large(a+b)^n&\large={_n\text{C}_0}a^n b^0+{_n\text{C}_1}a^{n-1} b^1+{_n\text{C}_2}a^{n-2} b^2+\cdots\\ &\large\quad+{_n\text{C}_{n-2}}a^2 b^{n-2}+{_n\text{C}_{n-1}}a^1 b^{n-1}+{_n\text{C}_n}a^0 b^n\end{align*}

$\sum$をもちいれば

\[\large (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{{_n\text{C}_k}a^{n-k} b^k}\]

と表せるという定理のことです。

また、$a^{n-k}b^k$（ただし、$0\leqq k\leqq n$）の係数は${_n\text{C}_k}$であるという定理でもあり、${_n\text{C}_k}$のことを二項係数といいます。

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