『AとBが2枚のコインを使ったコイントスを行っている。コイントスはAがすでに終わらせているが結果はまだ伏せられている。
ここでAが「2枚の内1枚は表が出ている」といったとき、Bが「2枚とも表」と答えて当てる確率はいくつか？』
Aの「2枚の内1枚は表が出ている」という言葉から、残り1枚のコインが表である確率さえ分かれば良いから$\frac{1}{2}$が答え……ではありません。
まずは2枚のコインでコイントスをして、「2枚とも表」である確率を考えます。
この確率はそれぞれのコインの表が出る確率が$\frac{1}{2}$であるから
\[\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\]
となります。
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| 図1 2枚のコインをコイントスしたときの樹形図 |
ここでこの試行の樹形図を考えると、図1のようになります。結果が”表-表”になるのは4通り中1通りなので確率は$\frac{1}{4}$ということがここでもわかります。
「2枚の内1枚は表」という情報が付け加えられると図1の樹形図から"裏-裏"という結果はありえないので除外されます。
したがって、上の問題の答えは残った3通り中の1通りなので$\frac{1}{3}$となります。
なぜ、$\frac{1}{2}$という誤解が起きるかと言うとコイントスの結果を組み合わせで整理してしまうからだと思います。
コイントスの結果を組み合わせで考えると、"表-表"、"表-裏"、"裏-裏"の3通りあります。
ここに「2枚の内1枚は表」という情報が付け加えられると"表-表"、"表-裏"の2通りに絞り込まれます。
それぞれの結果から"表"を取り除けば"表"と"裏"の2択となり、確率を2通り中の1通りで$\frac{1}{2}$と考えてしまうのです。
問題のAの発言内容が「2枚の内少なくとも1枚は表」であれば、「2枚とも裏」の余事象の3通りのうち「2枚とも表」は1通りなので確率は$\frac{1}{3}$であるとわかりやすいかもしれません。
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