定点と相似

　$△\text{ABC}$と定点$\text{P}$を考えます。
直線$\text{AP}, \text{BP}, \text{CP}$上にそれぞれ$\text{AP}:\text{DP}=\text{BP}:\text{EP}$$=\text{CP}:\text{FP}=m:n$となるように点$\text{D}, \text{E}, \text{F}$をとります。
このとき、3点$\text{D}, \text{E}, \text{F}$はそれぞれ定点$\text{P}$に関する点$\text{A}, \text{B}, \text{C}$との位置関係が一致するようにとります。（例えば、点$\text{D}$が定点$\text{P}$に関して点$\text{A}$と同じ側にあるならば点$\text{E}, \text{F}$もそれぞれ同じ比で点$\text{B}, \text{C}$と同じ側にとります。）

すると、$△\text{DEF}$は$△\text{ABC}$と相似になります。

このことを確かめてみます。

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九点円とは？

　九点円とは、三角形の3辺の中点、各頂点から対辺またはその延長への垂線の足、各頂点と垂心を結ぶ線分の中点の9点を通る円のことです。オイラー円やフォイエルバッハ円とも呼ばれます。

関連：三角形の垂心

三角形にはこの円が必ず存在することを確かめてみようと思います。

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三角形の3辺の長さと内接円の半径

　三角形の内接円の半径は3辺の長さから以下のように求めることができます。

3辺の長さが$a,b,c$の三角形の内接円の半径$r$は

\[\large r=\frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{2(a+b+c)}\]

特に、斜辺の長さが$a$で他の2辺の長さが$b,c$の直角三角形の内接円の半径$r$は

\[\large r=\frac{b+c -a}{2}\]

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