正の数やその整数乗の累乗根$\sqrt[n]{a}$の大小関係は以下のようになります。
正の数$a$と自然数$n$について
\begin{align*}&\begin{cases}0<a\leqq\sqrt[n]{a}<1&(0<a<1)\\[1em]a=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[1em]1<\sqrt[n]{a}\leqq
a&(1<a)\end{cases}\\ &0<a<1,
1<aのときの等号成立条件はn=1\end{align*}
$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について
\begin{cases}1<\sqrt[n]{a^p}&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p>0)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について、$p$の値にかかわらず
\[\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\]
$1<a$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について
\begin{cases}0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]1<\sqrt[n]{a^p}&(p>0)\end{cases}
正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について
\begin{cases}\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}&(0<a<1)\\[0.5em]\sqrt[m]{a}=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[0.5em]\sqrt[m]{a}>\sqrt[n]{a}&(1<a)\end{cases}
正の数$a$と自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$について
\begin{cases}\sqrt[n]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(0<a<1)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1&(a=1)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(1<a)\end{cases}
$0<a<1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について
\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について、$m, n, p,
q$の値にかかわらず
\[\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\]
$1<a$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について
\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}
$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$、整数$p$について
\begin{align*}\sqrt[n]{a^p}>\sqrt[n]{b^p}&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{b^p}=1&(p=0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}<\sqrt[n]{b^p}&(p>0)\end{align*}
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