1月 2025 ~ 数学について考えてみる

2025年1月22日

PLUMBAGO関数

　関数とは、ある対応関係のことをいいます。

　反比例$y=\dfrac{a}{x}$（$a:$定数、$a\neq0$）のグラフは双曲線なのでしょうか？
$y=\dfrac{a}{x}$のグラフを適当に回転移動させると双曲線の方程式になることを確かめてみます。

　関数$y=f(x)$のグラフを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したグラフの方程式は

\[\large f(x\cos\theta +y\sin\theta)+x\sin\theta -y\cos\theta=0\]

点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したグラフの方程式は

\[\large f\bigl((x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\bigr)+(x-p)\sin\theta -(y-q)\cos\theta -q=0\]

となります。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

　平面上の点$(a, b)$が原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したとき、移動後の座標は

\[\large (a\cos\theta-b\sin\theta, a\sin\theta +b\cos\theta)\]

点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したとき、移動後の座標は

\[\large \bigl((a-p)\cos\theta-(b-q)\sin\theta +p, (a-p)\sin\theta +(b-q)\cos\theta +q\bigr)\]

となります。
ただし、$θ$は中心からx軸方向へ延ばした半直線を始線とし、始線から反時計回りを正とする一般角です。

なぜこのような座標となるのでしょうか？