平方完成するにはどのような方法があるでしょうか？
平方完成のためにするべきことは、
の3工程があります。
- 未完成の$a^2+2ab+b^2$を見つける。
- 必要なものを付け足して帳尻を合わせる。
- $(a+b)^2$をつくる。
例として$x^2+4x-3$を平方完成します。
1. 未完成の$a^2+2ab+b^2$を見つける
特に$a^2$と$2ab$の部分を探します。
xの2次式の場合、それぞれ$x^2$の項と$x$の項にあたります。$x^2+4x-3$であれば$x^2+4x$にあたります。
$a=x$とすれば$2ab$の項にあたる$4x$の部分は$4=2b$であるため$b=2$です。
したがって、$a^2+2ab+b^2=x^2+4x+4$となることがわかります。
2. 必要なものを付け足して帳尻を合わせる
$x^2+4x$には$+4$が足りないので付け足します。しかし、付け足したままだと式が変わってしまうので、帳尻を合わせるために付け足したものを引きます。
\[3+2=(3+2)+1-1\]
という式で両辺のどちらも同じ結果の$5$になることと同じ理屈です。
したがって
\begin{align*}x^2+4x-3&=x^2+4x-3+4-4\\[0.5em]
&=(x^2+4x+4)-4-3\\[0.5em]&=(x^2+4x+4)-7\end{align*}
$a^2+2ab+b^2$となる部分だけ括弧で括っておくとわかりやすいです。
3. $(a+b)^2$をつくる
最後に括弧の中を因数分解します。
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
なので、
\[(x^2+4x+4)-7=(x+2)^2-7\]
これで平方完成することができました。
$x^2$の係数が1以外である場合は以下のようになります。
例えば$2x^2-5x+2$の場合は、$x$のある項を括弧でまとめ、$x^2$の係数を括弧の外へくくりだします。
\begin{align*}2x^2-5x+2&=(2x^2-5x)+2\\
&=2\left(x^2-\frac{5}{2}x\right)+2\end{align*}
カッコ内に対して平方完成を行います。
$-\dfrac{5}{2}x$の項より$b=-\dfrac{5}{4}$なので$b^2=\dfrac{25}{16}$
\begin{align*}2\left(x^2-\frac{5}{2}x\right)+2&=2\left\{(x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16})-\frac{25}{16}\right\}+2\\[0.5em]&=2\left\{\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{25}{16}\right\}+2\end{align*}
$\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2=A$として分配法則を利用して
\begin{align*}2\left\{\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{25}{16}\right\}+2&=2\left(A-\frac{25}{16}\right)+2\\[0.5em]&=2A-\frac{25}{8}+2\\[0.5em]&=2A-\frac{9}{8}\end{align*}
したがって、
\[2x^2-5x+2=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{9}{8}\]
となります。
$y=ax^2+bx+c$を平方完成すると
\begin{align*}y&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\[0.5em]&=a\left\{\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a^2}\right\}+c\\[0.5em]&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a}+c\\[0.5em]&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\end{align*}
となり、これが平方完成の公式となります。
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